W3 19-10, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD 3 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA Definicja: Łuk zorientowany Łuk, na którym ustalono początek i koniec. Oznaczamy go symbolem L . Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku L oznaczamy − L . Jeżeli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy że parametryzacja łuku jest zgodna z orientacją. Definicja: Całka krzywoliniowa Całkę krzywoliniową zorientowaną z funkcji F = P,Q,R ciągłej na łuku gładkim zorientowanym L: r t gdzie t ∈〈 , 〉 o parametryzacji zgodnej z orientacją, oznaczamy symbolem: ∫ L F ° d r lub ∫ L Pdx Qdy Rdz ∫ L Pdx Qdy oraz określamy wzorem: ∫ L F r ° d r = ∫ [ F r t ° r' t ] dt PRZYPADKI SZCZEGÓLNE: 1. jeżeli łuk gładki L ma parametryzację zgodną z jego orientacją r t =[ x t ,y t ,z t ] dla t ∈〈 , 〉 to: ∫ L Pdx Qdy Rdz = ∫ [ P x t ,y t ,z t x' t Q x t ,y t ,z t y' t R x t ,y t ,z t z' t ] dt 2. jeżeli łuk gładki L ma parametryzację zgodną z jego orientacją r t =[ x t ,y t ] oraz t ∈〈 , 〉 to: ∫ L Pdx Qdy = ∫ [ P x t ,y t x' t Q x t ,y t y' t ] dt 3. jeżeli łuk gładki L jest wykresem funkcji klasy C 1 〈 , 〉 danej wzorem y = y x oraz x ∈〈 a,b 〉 gdzie orientacja łuku L jest od y a do y b to: ∫ L Pdx Qdy = ∫ a b [ P x,y x Q x,y x y' x ] dx WŁASNOŚCI CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ: 1. ∫ L F G ° d r = ∫ L F ° d r ∫ L G ° d r 2. ∫ L C ⋅ F ° d r = C ∫ L F ° d r 3. ∫ − L F ° d r =− ∫ L F ° d r 4. jeżeli łuk zorientowany L jest kawałkami gładki i L = L 1 ∪ L 2 ∪...∪ L n , to: ∫ L F ° d r = ∫ L1 F ° d r ∫ L2 F ° d r ... ∫ Ln F ° d r 1 WYKŁAD 3. 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska Definicja: Twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi Załóżmy, że pole wektorowe F jest potencjalne w obszarze D ⊂ R 3 R 2 i F = gradf wówczas: ∫ AB F ° d r = f B − f A gdzie AB jest dowolnie zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w A i końcu B , całkowicie zawartym w D Całki krzywoliniowe w połówkach zamkniętych oznacza się ∮ ... Definicja: Twierdzenie Greena Niech L ⊂ R 2 będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym. Obszar płaski ograniczony krzywą L oznaczamy D . Mówimy, że orientacja łuku L jest dodatnia względem D gdy poruszając się po łuku L , zgodnie z orientacją obszaru D mamy po lewej stronie załóżmy, że: 1. obszar domknięty D ⊂ R 2 jest normalny względem obu osi układu 2. brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio 3. pole wektorowe F =[ P,Q ] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D wówczas: ∫ L Pdx Qdy = ∬ D δQ δx − δP δy dxdy 2 WYKŁAD 3. 19-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska [ Pobierz całość w formacie PDF ] |