W1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład1.Funkcjarzeczywistazmiennejrzeczywistej,włas-
no±cifunkcji,funkcjazło»onaiodwrotna
1 Definicja
Funkcj¡nazywamy jednoznaczne przyporz¡dkowanie ka»demu elementowi pewnego zbioru X=
D(f), zwanegodziedzin¡, dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y , zwanegoprzeciwdziedz-
in¡. Oznaczamy to
f:X ! Y;
gzie f jest nazw¡ funkcji. Je±li X; Y R, mówimy ofunkcjirzeczywistejzmiennejrzeczywistej.
x 2 X nazywamyzmienn¡niezale»n¡, a y 2 Y –zmienn¡zale»n¡. Zbiór takich elementów prze-
ciwdziedziny, które s¡ przyporz¡dkowane penym elementom dziedziny, nazywamyobrazemfunkcji
i oznaczamyIm(f),
Im(f)=fy 2 Yjf(x)=y dla pewnego x 2 Xg:
+
Funkcja jest „maszyn¡”, która z elementów swojej dziedziny „produkuje” elementy przeci-
wdziedziny. Aby podkre±li¢ ten dynamizm, funkcj¦ zapisuje sie z u»yciem strzałek:
f:X ! Y;
x 7! f(x):
Mo»na równie» mówi¢ o funkcji f, pami¦taja¡c, »e chodzi o pewien przpis na przkształcenie
liczb. Zapis wzoru funkcji, np. f : x 7! x
2
skraca si¦ czasem do f(x)=x
2
, natomiast
samo f(x)nie jest funkcj¡, tylko warto±ci¡ funkcji dla zmiennej x.
2 Przykład
Funkcja mo»e byzadana na ró»ne sposoby, np.
1. za pomoc¡ wzoru, y(x)=x
3
x
2
+logx,
2. za pomoc¡ tablicy, np. temperatura gazu w zale»no±ci od ci±nienia dla kilku pomiarów,
3. za pomoc¡ opisu, np. funkcja przyporz¡dkowuje liczbom wymiernym1, a niewymiernym0.
+
Cz¦sto nie podaje si¦ dziedziny ani przeciwdziedziny funkcji. Wówczas jako dziedzin¦ bierze
si¦ najwi¦kszy zbiór, dla którego funkcja jest zdefiniowana (chyba »e z kontekstu wynik ainaczej),
a jako przeciwdziedzin¦ – obraz funkcji lub jaki± zbiór go zawieraj¡cy, w zale»no±ci od kontekstu.
3 Definicja
1. Funkcj¦ nazywamyiniekcj¡b¡d¹funkcj¡ró»nowarto±ciow¡, je±li (ka»dym) dwóm
ró»nym elementom dziedziny przyporz¡dkowane s¡ dwa ró»ne elementy przeciwdziedziny:
x
1
6=x
2
=) f(x
1
)6=f(x
2
)
lub równowa»nie:
f(x
1
)=f(x
2
)=) x
1
=x
2
:
2. Funkcj¦ nazywamysuriekcj¡lubfunkcj¡na, je±li ka»dy element przeciwdziedziny jestobrazem
pewnego elementu dziedziny, tzn. przeciwdziedzina jest obrazem funkcji:
Y=Im(()f):
2
3. Funkcj¦ nazywamybiekcj¡albofunkcj¡wzajemniejednoznaczn¡) je±li jest jednocze±nie iniekcj¡
i suriekcj¡.
4 Przykład
1. Funkcja
f:R!R
x 7! x
2
nie jest ani iniekcj¡, ani suriekcj¡.
2. Funkcja
f:R![0;1)
x 7! x
2
nie jest iniekscj¡, ale jest suriekcj¡.
3. Funkcja
f:[0;1)!R
x 7! x
2
jest iniekscj¡, ale nie jest suriekcj¡.
4. Funkcja
f:[0;1)![0;1)
x 7! x
2
jest biekcj¡.
5 Definicja
1. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznierosn¡c¡je±li x
2
> x
1
=) f(x
2
)> f(x
1
).
2. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznieniemalej¡c¡je±li x
2
> x
1
=) f(x
2
) f(x
1
).
3. Funkcj¦ f nazywamymonotoniczniemalej¡c¡je±li x
2
> x
1
=) f(x
2
)< f(x
1
).
4. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznienierosn¡c¡je±li x
2
> x
1
=) f(x
2
) f(x
1
).
6 Przykład
Funkcja f(x)=x
3
jest monotonicznie rosn¡ca, funkcja f(x)=x
2
jest monotonicznie
malej¡ca w przedziale(1;0]i monotonicznie rosn¡ca w przedziale[0;1). Funkcja f(x)=
[x](entier, przyporz¡dkowuj¡ca ka»dej liczbie rzeczywistej x najwi¦ksz¡ liczb¦ całkowit¡ mniejsz¡
od x) jest niemalej¡ca.
7 Definicja
1. Funkcj¦ f nazywamywypukł¡wdół(wypukł¡)wprzedzialeI je±li dla dowolnych
x
1
; x
2
2 I zachodzi
x
1
+x
2
2
f(x
1
)+f(x
2
)
f
2
:
3
2. Funkcj¦ f nazywamywypukł¡wgór¦(wkl¦sł¡)wprzedzialeI je±li dla dowolnych x
1
; x
2
2 I
zachodzi
x
1
+x
2
2
f(x
1
)+f(x
2
)
f
2
:
+
Wypukło±¢ w dół mo»na równie» scharakteryzowa¢ nast¦puj¡co:
8 2(0;1):f(x
1
+(1)x
2
) f(x
1
)+(1)f(x
2
):
Podobnie dla wypukło±ci w gór¦. Wykres funkcji f wypukłej w dół w przedziale[a;b]le»y
całkowicie poni»ej lub na siecznej, ł¡cz¡cej punkty(a;f(a))oraz(b;f(b)), natmiast wykres
funkcji wypukłej w gór¦ le»y całkowicie powy»ej lub na siecznej.
8 Przykład
1. Funkcja liniowa jest wypukła zarówno w dółł, jak i w gór¦ w całej swej dziedzinie.
2. Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym dodatnim jest wypukła w dół w całej
dziedzinie, a funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym ujemnym jest wypukła w gór¦
w całej dziedzinie.
3. Funkcja x 7! x
3
jest wypukła w gór¦ w przedziale(1;0], a wypukła w dół w przedziale
[0;1).
9 Definicja
Funkcj¦ nazywamyograniczon¡, je»eli istnieje takie M 2R
+
, »eIm(()f)2[M;M].
10 Przykład
1. Funkcja liniowa jest nieograniczona.
2. Wielomiany s¡ nieograniczone.
3. Sinus jest ograniczony.
4. x 7! x[x]jest ograniczony.
11 Definicja
1. Funkcj¦ f nazywamyparzyst¡, je»eli dla ka»dego x z jej dziedziny zachodzi
f(x)=f(x):
2. Funkcj¦ f nazywamynieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x z jej dziedziny zachodzi
f(x)=f(x):
3. Funkcj¦ f nazywamyokresow¡ookresieT, je»eli dla ka»dego x mamy
f(x)=f(x+T):
+
Dziedzina funkcji parzystej b¡d¹ nieparzystej musi by¢ „symetryczna” wzgl¦dem zera.
Dziedzina funkcji okresowej jest „okresowa” oraz nieograniczona.
12 Przykład
Sinus jest funkcj¡ nieparzyst¡, cosinus parzyst¡, obie s¡ okresowe o okresie2, tangens
i cotangens s¡ okresowe o okresie . Funkcja x 7! x
2
jest parzysta, a funkcja x 7! x
3
jest
nieparzysta.
4
13 Definicja
Niech dane b¦d¡ funkcje f:D(f)! Y(f)oraz g:D(g)! Y(g). Wówczas
1.sumaf+g,ró»nicafg iiloczynfg funkcji f i g s¡ zdefiniowane na zbiorze D(f)\D(g)
jako
(f g)(x)=f(x)g(x);
(f g)(x)=f(x)g(x):
2.Ilorazfunkcjif=g jest zdefiniowany na zbiorze D(f)\D(g)nfx 2 D(g):g(x)=0g
jako
f=g(x)=
f(x)
g(x)
:
3. Je»eli Y(f) D(g), funkcj¦
gf(x)=g(f(x))
nazywamyzło»eniem(superpozycj¡)funkcji f i g b¡d¹funkcj¡zło»on¡(superponowan¡).
Funkcj¦ g nazywa si¦funkcj¡zewn¦trzn¡, a funkcj¦ ffunkcj¡wewn¦trzn¡funkcji zło»onej.
14 Przykład
Niech dane b¦d¡ funkcje
f:Rnf0g!Rnf0g
x 7!
1
x
2
and
g:Rnf1g!Rnf1g
x 7!
x2
Suma, ró»nica i iloczyn zdefiniowane s¡ na zbiorze(1;0)[(0;1)[(1;1)jako
(f+g)(x)=
1
x
2
+
x2
x1
;
(f g)(x)=
1
x
2
x2
x1
;
(fg)(x)=
x2
x
2
(x1)
;
natomiast iloraz zdefiniowany jest na zbiorze(1;0)[(0;1)[(1;2)[(2;1)(poniewa»
g(2)=0) jako
(f=g)(x)=
x1
x
2
(x2)
:
Funkcji tych nie mo»emy superponowa¢, poniewa» Y(f)*D(g). Innymi słowy, w zbiorze warto±ci
funkcji f jest liczba1, która nie nale»y do dziedziny funkcji g.
x1
:
5
15 Przykład
Niech dane b¦d¡ funkcje f:R![1;1]; x 7!sin(x), g:(0;1)!R; x 7!
log(x)oraz h:R![0;1); x 7! x
2
. Wówczas
f g(x)=f(g(x))=f(logx)=sin(logx) lub
f g(x)=f(g(x))=sin(g(x))=sin(logx);
gf nie istnieje, poniewa» argumentem logarytmu mo»e by¢ tylko liczba dodatnia,
a warto±ci sinusa s¡ równie» ujemne;
f h(h)=f(h(x))=f(x
2
)=sin(x
2
) lub
f h(x)=f(h(x))=sin(h(x))=sin(x
2
);
hf(h)=h(f(x))=h(sinx)=(sinx)
2
lub
hf(h)=h(f(x))=(f(x))
2
=(sinx)
2
;
gh nie istnieje, poniewa» argumentem logarytmu mo»e by¢ tylko liczba dodatnia,
a warto±ci¡ kwadratu jest równie» zero;
hg(x)=h(g(x))=h(logx)=(logx)
2
lub
hg(x)=h(g(x))=(g(x))
2
=(logx)
2
:
16 Przykład
Iloczyn funkcji f:x 7! x oraz g:x 7!
1
x
dany jest wzorem
f g:x 7!1;
ale zdefiniowany „tylko” na zbiorzeRnf0g (poniewa» na tym zbiorze zdefiniowana jest funkcja g).
17 Definicja
Niech dana b¦dzie funkcja f:X ! Y oraz zbiory A X i B Y .
1.Obrazemzbioru A nazywamy zbiór warto±ci funkcji dla argumentów ze zbioru A:
f(A)=ff(x):x 2 Ag:
2.Przeciwobrazemzbioru B jest zbiór tych wszystkich wrgumentów, dla których warto±ci funkcji
nale»¡ do zbioru B:
f
1
(B)=fx:f(x)2 Bg:
Je±li zbiór jest jednoelementowy, mo»emy pisa¢ f
1
(b)zamiast f
1
(fbg).
18 Przykład
Niech
f:f2;1;0;1;3g!f0;1;4;5;9g;
x 7! x
2
:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl