W1, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Wykład1.Funkcjarzeczywistazmiennejrzeczywistej,włas- no±cifunkcji,funkcjazło»onaiodwrotna 1 Definicja Funkcj¡nazywamy jednoznaczne przyporz¡dkowanie ka»demu elementowi pewnego zbioru X= D(f), zwanegodziedzin¡, dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y , zwanegoprzeciwdziedz- in¡. Oznaczamy to f:X ! Y; gzie f jest nazw¡ funkcji. Je±li X; Y R, mówimy ofunkcjirzeczywistejzmiennejrzeczywistej. x 2 X nazywamyzmienn¡niezale»n¡, a y 2 Y –zmienn¡zale»n¡. Zbiór takich elementów prze- ciwdziedziny, które s¡ przyporz¡dkowane penym elementom dziedziny, nazywamyobrazemfunkcji i oznaczamyIm(f), Im(f)=fy 2 Yjf(x)=y dla pewnego x 2 Xg: + Funkcja jest „maszyn¡”, która z elementów swojej dziedziny „produkuje” elementy przeci- wdziedziny. Aby podkre±li¢ ten dynamizm, funkcj¦ zapisuje sie z u»yciem strzałek: f:X ! Y; x 7! f(x): Mo»na równie» mówi¢ o funkcji f, pami¦taja¡c, »e chodzi o pewien przpis na przkształcenie liczb. Zapis wzoru funkcji, np. f : x 7! x 2 skraca si¦ czasem do f(x)=x 2 , natomiast samo f(x)nie jest funkcj¡, tylko warto±ci¡ funkcji dla zmiennej x. 2 Przykład Funkcja mo»e byzadana na ró»ne sposoby, np. 1. za pomoc¡ wzoru, y(x)=x 3 x 2 +logx, 2. za pomoc¡ tablicy, np. temperatura gazu w zale»no±ci od ci±nienia dla kilku pomiarów, 3. za pomoc¡ opisu, np. funkcja przyporz¡dkowuje liczbom wymiernym1, a niewymiernym0. + Cz¦sto nie podaje si¦ dziedziny ani przeciwdziedziny funkcji. Wówczas jako dziedzin¦ bierze si¦ najwi¦kszy zbiór, dla którego funkcja jest zdefiniowana (chyba »e z kontekstu wynik ainaczej), a jako przeciwdziedzin¦ – obraz funkcji lub jaki± zbiór go zawieraj¡cy, w zale»no±ci od kontekstu. 3 Definicja 1. Funkcj¦ nazywamyiniekcj¡b¡d¹funkcj¡ró»nowarto±ciow¡, je±li (ka»dym) dwóm ró»nym elementom dziedziny przyporz¡dkowane s¡ dwa ró»ne elementy przeciwdziedziny: x 1 6=x 2 =) f(x 1 )6=f(x 2 ) lub równowa»nie: f(x 1 )=f(x 2 )=) x 1 =x 2 : 2. Funkcj¦ nazywamysuriekcj¡lubfunkcj¡na, je±li ka»dy element przeciwdziedziny jestobrazem pewnego elementu dziedziny, tzn. przeciwdziedzina jest obrazem funkcji: Y=Im(()f): 2 3. Funkcj¦ nazywamybiekcj¡albofunkcj¡wzajemniejednoznaczn¡) je±li jest jednocze±nie iniekcj¡ i suriekcj¡. 4 Przykład 1. Funkcja f:R!R x 7! x 2 nie jest ani iniekcj¡, ani suriekcj¡. 2. Funkcja f:R![0;1) x 7! x 2 nie jest iniekscj¡, ale jest suriekcj¡. 3. Funkcja f:[0;1)!R x 7! x 2 jest iniekscj¡, ale nie jest suriekcj¡. 4. Funkcja f:[0;1)![0;1) x 7! x 2 jest biekcj¡. 5 Definicja 1. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznierosn¡c¡je±li x 2 > x 1 =) f(x 2 )> f(x 1 ). 2. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznieniemalej¡c¡je±li x 2 > x 1 =) f(x 2 ) f(x 1 ). 3. Funkcj¦ f nazywamymonotoniczniemalej¡c¡je±li x 2 > x 1 =) f(x 2 )< f(x 1 ). 4. Funkcj¦ f nazywamymonotonicznienierosn¡c¡je±li x 2 > x 1 =) f(x 2 ) f(x 1 ). 6 Przykład Funkcja f(x)=x 3 jest monotonicznie rosn¡ca, funkcja f(x)=x 2 jest monotonicznie malej¡ca w przedziale(1;0]i monotonicznie rosn¡ca w przedziale[0;1). Funkcja f(x)= [x](entier, przyporz¡dkowuj¡ca ka»dej liczbie rzeczywistej x najwi¦ksz¡ liczb¦ całkowit¡ mniejsz¡ od x) jest niemalej¡ca. 7 Definicja 1. Funkcj¦ f nazywamywypukł¡wdół(wypukł¡)wprzedzialeI je±li dla dowolnych x 1 ; x 2 2 I zachodzi x 1 +x 2 2 f(x 1 )+f(x 2 ) f 2 : 3 2. Funkcj¦ f nazywamywypukł¡wgór¦(wkl¦sł¡)wprzedzialeI je±li dla dowolnych x 1 ; x 2 2 I zachodzi x 1 +x 2 2 f(x 1 )+f(x 2 ) f 2 : + Wypukło±¢ w dół mo»na równie» scharakteryzowa¢ nast¦puj¡co: 8 2(0;1):f(x 1 +(1)x 2 ) f(x 1 )+(1)f(x 2 ): Podobnie dla wypukło±ci w gór¦. Wykres funkcji f wypukłej w dół w przedziale[a;b]le»y całkowicie poni»ej lub na siecznej, ł¡cz¡cej punkty(a;f(a))oraz(b;f(b)), natmiast wykres funkcji wypukłej w gór¦ le»y całkowicie powy»ej lub na siecznej. 8 Przykład 1. Funkcja liniowa jest wypukła zarówno w dółł, jak i w gór¦ w całej swej dziedzinie. 2. Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym dodatnim jest wypukła w dół w całej dziedzinie, a funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym ujemnym jest wypukła w gór¦ w całej dziedzinie. 3. Funkcja x 7! x 3 jest wypukła w gór¦ w przedziale(1;0], a wypukła w dół w przedziale [0;1). 9 Definicja Funkcj¦ nazywamyograniczon¡, je»eli istnieje takie M 2R + , »eIm(()f)2[M;M]. 10 Przykład 1. Funkcja liniowa jest nieograniczona. 2. Wielomiany s¡ nieograniczone. 3. Sinus jest ograniczony. 4. x 7! x[x]jest ograniczony. 11 Definicja 1. Funkcj¦ f nazywamyparzyst¡, je»eli dla ka»dego x z jej dziedziny zachodzi f(x)=f(x): 2. Funkcj¦ f nazywamynieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x z jej dziedziny zachodzi f(x)=f(x): 3. Funkcj¦ f nazywamyokresow¡ookresieT, je»eli dla ka»dego x mamy f(x)=f(x+T): + Dziedzina funkcji parzystej b¡d¹ nieparzystej musi by¢ „symetryczna” wzgl¦dem zera. Dziedzina funkcji okresowej jest „okresowa” oraz nieograniczona. 12 Przykład Sinus jest funkcj¡ nieparzyst¡, cosinus parzyst¡, obie s¡ okresowe o okresie2, tangens i cotangens s¡ okresowe o okresie . Funkcja x 7! x 2 jest parzysta, a funkcja x 7! x 3 jest nieparzysta. 4 13 Definicja Niech dane b¦d¡ funkcje f:D(f)! Y(f)oraz g:D(g)! Y(g). Wówczas 1.sumaf+g,ró»nicafg iiloczynfg funkcji f i g s¡ zdefiniowane na zbiorze D(f)\D(g) jako (f g)(x)=f(x)g(x); (f g)(x)=f(x)g(x): 2.Ilorazfunkcjif=g jest zdefiniowany na zbiorze D(f)\D(g)nfx 2 D(g):g(x)=0g jako f=g(x)= f(x) g(x) : 3. Je»eli Y(f) D(g), funkcj¦ gf(x)=g(f(x)) nazywamyzło»eniem(superpozycj¡)funkcji f i g b¡d¹funkcj¡zło»on¡(superponowan¡). Funkcj¦ g nazywa si¦funkcj¡zewn¦trzn¡, a funkcj¦ ffunkcj¡wewn¦trzn¡funkcji zło»onej. 14 Przykład Niech dane b¦d¡ funkcje f:Rnf0g!Rnf0g x 7! 1 x 2 and g:Rnf1g!Rnf1g x 7! x2 Suma, ró»nica i iloczyn zdefiniowane s¡ na zbiorze(1;0)[(0;1)[(1;1)jako (f+g)(x)= 1 x 2 + x2 x1 ; (f g)(x)= 1 x 2 x2 x1 ; (fg)(x)= x2 x 2 (x1) ; natomiast iloraz zdefiniowany jest na zbiorze(1;0)[(0;1)[(1;2)[(2;1)(poniewa» g(2)=0) jako (f=g)(x)= x1 x 2 (x2) : Funkcji tych nie mo»emy superponowa¢, poniewa» Y(f)*D(g). Innymi słowy, w zbiorze warto±ci funkcji f jest liczba1, która nie nale»y do dziedziny funkcji g. x1 : 5 15 Przykład Niech dane b¦d¡ funkcje f:R![1;1]; x 7!sin(x), g:(0;1)!R; x 7! log(x)oraz h:R![0;1); x 7! x 2 . Wówczas f g(x)=f(g(x))=f(logx)=sin(logx) lub f g(x)=f(g(x))=sin(g(x))=sin(logx); gf nie istnieje, poniewa» argumentem logarytmu mo»e by¢ tylko liczba dodatnia, a warto±ci sinusa s¡ równie» ujemne; f h(h)=f(h(x))=f(x 2 )=sin(x 2 ) lub f h(x)=f(h(x))=sin(h(x))=sin(x 2 ); hf(h)=h(f(x))=h(sinx)=(sinx) 2 lub hf(h)=h(f(x))=(f(x)) 2 =(sinx) 2 ; gh nie istnieje, poniewa» argumentem logarytmu mo»e by¢ tylko liczba dodatnia, a warto±ci¡ kwadratu jest równie» zero; hg(x)=h(g(x))=h(logx)=(logx) 2 lub hg(x)=h(g(x))=(g(x)) 2 =(logx) 2 : 16 Przykład Iloczyn funkcji f:x 7! x oraz g:x 7! 1 x dany jest wzorem f g:x 7!1; ale zdefiniowany „tylko” na zbiorzeRnf0g (poniewa» na tym zbiorze zdefiniowana jest funkcja g). 17 Definicja Niech dana b¦dzie funkcja f:X ! Y oraz zbiory A X i B Y . 1.Obrazemzbioru A nazywamy zbiór warto±ci funkcji dla argumentów ze zbioru A: f(A)=ff(x):x 2 Ag: 2.Przeciwobrazemzbioru B jest zbiór tych wszystkich wrgumentów, dla których warto±ci funkcji nale»¡ do zbioru B: f 1 (B)=fx:f(x)2 Bg: Je±li zbiór jest jednoelementowy, mo»emy pisa¢ f 1 (b)zamiast f 1 (fbg). 18 Przykład Niech f:f2;1;0;1;3g!f0;1;4;5;9g; x 7! x 2 : [ Pobierz całość w formacie PDF ] |