w1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
P o d s t a w o w e r ó w n a n i a r z!d z!c e p r z e p"y w e m w y n i k a j! z o g ó l n i e p r z y j#t y c h w f i z y c e z a s a d z a c h o w a n i a :
S t r u mi e' w i e l k o&c i
U
mo%n a p r z e d s t a w i$ j a k o s u m# s t r u mi e n i a k o n w e k c y j n e g o ( u n o s z e n i e w i e l k o&c i
U
!
z p r#d k o&c i!)
V
:
-
zasady zachowania masy
-
zasady zachowania p!dy
-
zasady zachowania energii ( ~ pierwsza zasada termodynamiki)
!
%
!
F
C
V
$
U
oraz
-
drugiej zasady termodynamiki (wzrostu entropii)
oraz strumienia dyfuzyjnego, (wynikaj!cego z tendencji do wyrównywania niejednorodno&ci rozk"adu wielko&ci intensywnych):
!
F
D
%
)
'
$
&
$
(
(
U
/
&
)
i mo g! b y$ formu"o w a n e n a s z e r e g r ó%n y c h , l e c z ma t e ma t y c z n i e r ó w n o w a%n y c h s p o s o b ó w . S t o s u j!c
mo d e l o&r o d k a c i!g"e g o mo%n a r o z w a%y$ b i l a n s d o w o l n e j w i e l k o&c i f i z y c z n e j
U
( g#s t o&$, s k"a d o w a p#d u ,
e n e r g i a , e n t a l p i a , . . . ) w d o w o l n e j , n i e z mi e n n e j w c z a s i e o b j#t o&c i k o n t r o l n e j ! o b r z e g u "!
( R y s . 2 . 1 ) .
g d z i e ' j e s t w s p ó"c z y n n i k i e m d y f u z j i .
Z mi a n a i l o&c i
U
w o b j#t o&c i k o n t r o l n e j ! w j e d n o s t c e c z a s u w y n i k a z n i e z e r o w e j s k"a d o w e j n o r ma l n e j s t r u mi e n i a n a
&c i a n c e :
!
!
R y s . 2 . 1 O b j#t o&$ k o n t r o l n a d o w y p r o w a d z e n i a
p r a w a z a c h o w a n i a w i e l k o&c i
U
##
!
$
)
F
n
dS
"
!
!
###
##
Q
d
!
*
Q
$
n
dS
o r a z d z i a"a n i a (r ó d e" o b j#t o&c i o w y c h i p o w i e r z c h n i o w y c h :
.
V
S
!
"
!
###
!
U
$
d
!
Ca"k o w i t a i l o&$ w i e l k o&c i
U
w n i e j z a w a r t a w y n o s i
i z mi e n i a s i# w c z a s i e w s k u t e k :
W e f e k c i e o g ó l n a p o s t a$ r ó w n a n i a z a c h o w a n i a d l a w i e l k o&c i s k a l a r n e j
U
p r z y j mi e p o s t a$:
-
dop"ywu przez #ciank! (efekt strumieni)
-
!
!
!
!
+
wyst!powania $róde" wielko#ci
U
w obszarze kontrolnym lub na jego brzegu
###
##
###
##
Ud
!
%
)
F
$
n
dS
*
Q
d
!
*
Q
$
n
dS
V
S
+
t
( 2 . 1 a )
!
"
!
!
"
!
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
2
W e f e k c i e o g ó l n a p o s t a$ r ó w n a n i a z a c h o w a n i a d l a w i e l k o&c i s k a l a r n e j
U
p r z y j mi e p o s t a$:
!
!
!
!
+
###
##
###
##
Ud
!
*
F
$
n
dS
%
Q
d
!
*
Q
$
n
dS
Prawo zachowania masy
V
S
+
t
!
"
!
!
"
!
( 2 . 1 a )
Je%eli za
U
wstawimy g#sto&$
&,
to równania (2.1a) i (2.1b) wyra%! prawo zachowania masy, czyli równanie ci!g"o&ci. Nale%y
zauwa%y$, %e w przypadku tej wielko&ci nie wyst#puje strumie' dyfuzyjny jak równie% w przyrodzie nie wyst#puj! (ród"a masy, co znakomicie
upraszcza równania:
lub, stosuj!c twierdzenie o dywergencji do strumieni i (róde" powierzchniowych oraz porz!dkuj!c sk"adniki:
!
!
+
U
1
.
###
!
*
(
$
F
)
Q
)
(
$
Q
d
!
%
0
0
-
V
S
+
t
!
!
+
2 3
###
##
&
d
!
*
&
V
$
n
dS
%
0
A u w z g l#d n i a j!c d o w o l n o&$ o b j#t o&c i k o n t r o l n e j !
w a r t o&$ f u n k c j i p o d c a"k o w e j mu s i b y$ r ó w n a z e r u w k a%d y m
p u n k c i e p o l a . W e f e k c i e r ó w n a n i e z a c h o w a n i a
U
p r z e d s t a w i$ mo%n a w p o s t a c i r ó%n i c z k o w e j :
( 2 . 2 a )
+
t
!
"
!
!
!
&
2
3
+
&
2 3
0
+
U
*
(
$
V
%
*
(
$
F
)
Q
%
Q
S
V
+
t
( 2 . 2 b )
+
t
( 2 . 1 b )
Równanie (2.1a) przedstawia sob! ogóln! posta$ prawa zachowania w formie ca"kowej, odniesion! do dowolnej (niezmiennej w czasie)
obj#to&ci kontrolnej. Podobnie równanie (2.1b) przedstawia sob! ogóln! posta$ prawa zachowania w formie ró%niczkowej. Matematycznie
obie postacie równa' s! równowa%ne i mog! by$ podstaw! ró%nych u%ytecznych metod obliczeniowych. W zale%no&ci od tego jak! wielko&$
podstawimy pod
U
otrzymamy prawo zachowania dla tej warto&ci.
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
3
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
4
 Prawo zachowania energii
Je%eli pod wielko&$
U
wstawi$ iloczyn g#sto&ci & i energii ca"kowitej
Prawo zachowania p!du
eE
!
2 3
2
2
*%
(energi# ca"kowit! odniesion! do jednostki
obj#to&ci) to równania (2.1a) i (2.1b) wyra%! prawo zachowania energii. Mo%liwe s! oczywi&cie inne wybory, np. energia wewn#trzna
e
lub
entalpia
h
lub
H
. Nale%y jeszcze uzupe"ni$ równania o (ród"a powierzchniowe i obj#to&ciowe energii. )ród"a powierzchniowe to praca si"
ci&nieniowych i stycznych (lepko&ci):
V
/
Je%eli pod wielko&$
U
wstawi$ iloczyn pr#dko&ci i g#sto&ci
V
&
(p#d odniesiony do jednostki obj#to&ci) to równania (2.1a) i (2.1b)
wyra%! prawo zachowania p#du. Nale%y je uzupe"ni$ (ród"ami obj#to&ciowymi i powierzchniowymi p#du. )ród"a powierzchniowe to si"y
ci&nieniowe dzia"aj!ce w kierunku normalnym do powierzchni i napr#%enia styczne wynikaj!ce z lepko&ci. S! one tensorami drugiego rz#du:
2
3
v
!
)% 4
.
)ród"a obj#to&ciowe to (ród"a ciep"a
q
, np. na skutek reakcji chemicznych lub promieniowania, orazi pracy si" masowych
q
Q
S
p
I
*
$
Q
S
%
5
%
)
p
*
4
!
!
Q
%
*
&
f
$
V
V
!
I
oznacza tensor jednostkowy, a tensor napr#%e' stycznych w zapisie sumacyjnym wyra%a si# nast#puj!co:
F
D
%
)
k
(
T
W bilansie musimy uwzgl#dni$ równie% strumie' dyfuzyjny, wynikaj!cy z przewodzenia ciep"a:
,
1
+
u
.
(
k
jest wspó"czynnikiem przewodzenia ciep"a). Równania (2.1a) przyjm! wówczas posta$:
+
u
+
u
2
/
0
j
,
-
i
k
4
%
6
*
)
6
"
ij
ij
+
x
+
x
3
+
x
!
+
!
2 3
j
i
k
###
##
&
E
d
!
*
"
&
E
$
n
dS
%
+
t
!
!
!
Q
V
% &
. W efekcie równania przyjmuj! posta$:
$
f
)ród"a obj#to&ciowe p#du s! si"ami masowymi
3
2
!
!
!
2
2
3
!
3
!
###
##
##
q
*
&
f
$
V
d
!
*
k
(
T
$
n
dS
*
)
p
I
*
4
$
V
$
n
dS
+
2 3
!
2 3
!
!
!
2 3
!
!
!
!
"
!
"
!
###
##
###
##
##
&
V
d
!
*
&
V
V
$
n
dS
%
&
f
d
!
)
p
n
dS
*
4
$
n
dS
l u b
( 2 . 3 a )
+
t
!
"
!
!
"
!
"
!
!
!
+
2 3
###
&
E
d
!
*
##
"
&
H
V
$
n
dS
%
2 3
!
!
!
!
+
&
V
2 3
+
t
2 3
!
!
!
*
(
$
&
V
V
%
&
f
)
(
p
*
(
$
4
2
!
!
3
!
!
+
t
( 2 . 3 b )
###
##
##
q
*
&
f
$
V
d
!
*
k
(
T
$
n
dS
*
4
$
V
$
n
dS
( 2 . 4 a )
!
"
!
"
!
i znane s! jako równania Naviera-Stokesa.
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
5
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
6
Równania (2.1a) przyjm! wówczas posta$:
+
Do domkni#cia wszystkich powy%szych równa' konieczne s! dodatkowe zwi!zki, wyra%aj!ce zale%no&ci na energi# wewn#trzn!, g#sto&$,
lepko&$ i wspó"czynnik przewodzenia ciep"a:
!
!
2 3
###
##
&
E
d
!
*
"
&
E
$
n
dS
%
e=e(T,p)
&
=
&
(T,p)
6
=
6
(T,p)
k=k(T,p)
+
t
!
!
3
2
!
!
!
2
2
3
!
3
!
###
##
##
q
*
&
f
$
V
d
!
*
k
(
T
$
n
dS
*
)
p
I
*
4
$
V
$
n
dS
!
"
!
"
!
l u b
!
+
!
2 3
###
##
&
E
d
!
*
"
&
H
V
$
n
dS
%
oraz ewentualnie pole si" masowych
f
oraz (ród"a ciep"a
q
.
Energia wewn#trzna dla modelu gazu doskona"ego wyra%a si# wzorem
1
+
t
!
!
2
!
!
3
!
2 3
!
!
###
##
##
a
2
q
*
&
f
$
v
d
!
*
k
(
T
$
n
dS
*
4
$
v
$
n
dS
e
%
C
T
%
RT
%
( 2 . 4 a )
!
"
!
"
!
v
'
)
1
'
(
'
)
1
a g#sto&$ dana jest równaniem gazu doskona"ego:
a r ó w n a n i a ( 2 . 1 . b ) :
2 3
p
'
p
!
!
!
!
!
+ &
E
2 3
2 3
&
%
%
2
3
*
(
$
&
E
V
%
q
*
&
f
$
V
*
(
$
k
(
T
)
(
$
(
p
V
)
*
(
$
4
$
V
RT
a
2
+
t
Wspó"czynnik lepko&ci dynamicznej jest cech! p"ynu i zale%y g"ównie od temperatury, a wspó"czynnik przewodzenia ciep"a zwi!zany jest ze
wspó"czynnikiem lepko&ci zale%no&ci!
l u b
2 3
!
!
!
!
+
&
E
2 3
3
2 3
2
%
6
$
C
*
(
$
&
H
V
%
q
*
&
f
$
V
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
V
p
k
+
t
( 2 . 4 b )
Pr
Pr
jest liczb! Prandtla.
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
7
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
8
 2 3
!
!
!
!
+
&
V
2 3
*
(
$
&
V
V
%
&
f
)
(
p
*
(
$
4
+
t
&
+
&
2 3
0
*
(
$
V
%
+
t
!
!
+
V
+
&
2 3 2
!
!
!
3
V
!
&
*
V
(
$
&
V
V
*
&
V
$
(
!
!
V
$
(
&
*
&
(
$
V
+
t
+
t
!
!
!
!
!
+
V
2 3
!
+
&
2 3
1
.
&
*
&
V
$
(
V
*
v
*
(
$
&
V
%
&
f
)
(
p
*
(
$
4
0
-
!
!
+
t
+
t
+
&
*
V
$
(
&
*
&
(
$
V
%
0
+
t
%
"$
"#
d
&
dt
!
!
!
!
1
+
V
.
2
3
&
0
*
V
$
(
V
-
%
&
f
)
(
p
*
(
$
4
+
t
%
" $
" #
d
v
dt
!
d
&
dt
*
&
(
$
V
%
0
!
!
d
V
1
1
%
f
)
(
p
*
(
$
4
dt
&
&
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
9
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 0
&
2
&
H
)
p
/
+
&
2 3
0
*
(
$
V
%
+
t
2 3
!
!
!
!
+
&
E
2 3
3
2 3
2
*
(
$
&
H
V
%
q
*
&
f
$
V
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
V
+
t
!
!
+
v
2 3
!
1
.
&
0
*
V
$
(
v
-
%
&
f
)
(
p
*
(
$
4
. . . . . .
+
t
!
+
H
!
+
p
!
!
1
.
2
3
2
3
2 3
!
!
!
!
&
*
v
$
(
H
%
*
q
*
&
f
$
v
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
v
+
H
+
p
0
-
1
.
2
3
2
3
2
3
&
0
*
V
$
(
H
-
%
*
q
*
&
f
$
V
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
V
+
t
+
t
+
t
+
t
%
"
$
"
#
dH
dt
1
.
+
u
+
u
2
+
u
/
0
,
-
j
4
%
6
i
*
)
6
k
"
ij
ij
+
x
+
x
3
+
x
j
i
k
!
!
!
dH
+
p
3
2 3
2
&
%
*
q
*
&
f
$
V
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
V
warunki brzegowe
dt
+
t
druga zasada termodynamiki (? !)
ROZWI*ZANIE ....
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 1
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 2
 turbulencja:
-
zjawisko zmienne w czasie i przestrzeni (zawsze 3-wymiarowej) objawiaj%ce si!
losow% (chaotyczn%, przypadkow%) zmienno#ci% parametrów przep"ywu, przy czym
mo&na okre#li' pewne #rednie statystyczne
-
wyst!puje przemieszczanie (mieszanie) ca"ych [ma"ych] mas p"ynu w sposób
przypadkowy, w przeciwie(stwie do przemieszczania pojedynczych cz%steczek w
ruchu laminarnym
-
typowe dla du&ych liczb Reynoldsa – charakterystycznych dla aerodynamiki lotniczej
t
*
T
1
#
u
'
%
u
'
4
4
d
%
0
2 3
T
t
T
1
2
2 3
4
#
2
u
'
%
u
'
d
RMS
4
T
Pr#dko&$ &rednia
pr#dko&$ poboczna
0
u
%
u
*
u
'
2 3
2 3
2 3
t
t
t
p
%
p
*
p
'
2
3
1
2
2
2
.
2 3
2 3
2 3
'
'
'
u
*
u
*
u
t
t
t
1
2
2
/
0
,
-
2
2
2
'
'
'
x
y
z
u
'
%
u
*
u
*
u
%
%
k
&
%
&
*
&
2 3
2 3
2 3
/
,
x
y
z
t
t
t
3
3
2
3
t
*
T
%
1
u
'
#
u
u
2 3
4
4
d
I
%
RMS
2 3
t
T
u
t
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 3
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 4
przep"yw nie&ci&liwy (&
=const
), u&rednione równanie p#du
x
:
1
.
+
u
+
u
2
+
u
/
0
,
-
j
4
%
6
i
*
)
6
k
"
)
&
u
'
u
'
)
&
u
'
v
'
)
&
u
'
w
'
3 2
3
3
%
"
$
"
#
ij
ij
2
2
+
x
+
x
3
+
x
+
&
(
u
*
u
'
)
+
&
(
u
*
u
'
)(
u
*
u
'
)
+
p
*
p
'
j
i
k
%
"
$
"
#
*
*
&
%
)
*
6
7
(
u
*
u
'
)
turb
+
t
+
x
+
x
lam
koncepcja lepko&ci turbulentnej
t
*
T
1
2
3
2
3
#
(
u
*
u
'
)(
v
*
v
'
)
%
u
v
*
u
v
'
*
v
u
'
*
u
'
v
'
d
4
%
T
t
+
u
4
%
6
)
&
u
'
w
'
u
v
*
u
v
'
*
v
u
'
*
u
'
v
'
%
u
v
*
u
'
v
'
xz
+
z
i finalnie:
8
+
u
+
u
+
u
+
u
+
p
+
u
&
*
&
u
*
&
v
*
&
w
%
)
*
6
T
+
z
+
t
+
x
+
y
+
z
+
x
2 3
2 3
2 3
z
+
u
'
u
'
+
u
'
v
'
+
u
'
w
'
6
7
u
)
&
)
&
)
&
+
u
2
3
z
+
x
+
y
+
4
%
6
*
6
xz
T
+
U&rednienie Reynoldsa równa' Naviera-Stokesa
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 5
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 6
 Aerodynamika rozpatruje zwykle równania
przep"ywu stacjonarnego, uwzgl!dniaj%c turbulencj!
.
!
+
&
+
V
+
H
+
p
%
0
;
%
0
;
%
0
;
%
0
;
+
t
+
t
+
t
+
t
droga mieszania
6
%
6
*
6
%
6
*
6
T
+
u
+
u
+
u
+
u
2
4
% $7 $
m
n
% $
&
v
$ $
l
% $ $
&
l
$
V
&
'
2 3
0
T
T
+
n
+
n
+
n
+
n
(
$
%
%$#
%"$"#
+
u
7
u
l
$
+
6
n
T
2 3
!
!
&
V
$
(
V
%
)(
p
*
(
$
4
STRATA P+DU ~ K
1
$V
,R
+ K
2
$V
,R
2
2 3
!
2
3
2 3
!
&
V
$
(
H
%
q
*
(
$
k
(
T
*
(
$
4
$
V
lamin.
turb.
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 7
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 8
2 3
&%
&
p
&
,
6
nie zale%y od
e
(T)
przep"yw lepki, nie&ci&liwy
(
V
!
%
0
V
&
2 3
0
(
$
%
!
!
2 3
1
1
V
$
(
V
%
)
(
p
*
(
$
4
&
&
2 3
!
!
:
:
&
V
$
(
V
%
)(
p
*
(
$
4
k
%
&
%
&
%
const
p
/
&
const
lub
(izentropowy)
(nie&ci&liwy)
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
1 9
Krzysztof Kubrynski A E R O D Y N A M I K A - I ( 0 1 ) d o u%y t k u w e w n#t r z n e g o
2 0
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl