W-03-Moc w obwodzie RLC

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zagadnienia mocy w obwodzie RLC przy przebiegach sinu-
soidalnych
1. Moc chwilowa
Wartość
chwilową
napięcia i prądu gałęzi oznaczymy odpowiednio przez
u(t)=U
m
sin(
w
t),
t-
φ
),
oraz przyjmując dla uproszczenie fazę
początkową
napięcia równą
zeru.
Moc chwilowa
p(t)
, jako jedyna z mocy jest funkcją
czasu i definiuje się
ją
w postaci ilo-
czynu wartości chwilowych prądu
i(t)
oraz napięcia
u(t)
w obwodzie:
)
w
p
(
t
)
=
u
(
t
)
×
i
(
t
Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem:
p
(
t
)
=
u
(
t
)
×
i
(
t
)
=
U
m
×
I
m
×
sin(
w
t
)
×
sin(
w
t
-
j
)
U
×
I
=
m
m
[
cos(
j
)
-
cos(
2
w
t
-
j
)
]
2
=
U
×
I
×
[
cos(
j
)
-
cos(
2
w
t
-
j
)
]
2. Moc czynna
Moc czynną
definiuje się
jako wartość
średnią
za okres z mocy chwilowej, to jest:
∫
+
1
t
o
T
P
=
p
(
t
)
dt
T
t
o
Podstawiając do powyŜszego wzoru funkcję
określającą
moc chwilową
w obwodzie, po
wykonaniu operacji całkowania otrzymuje się
:
Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest więc wielkością
stałą
równą
iloczynowi modułów wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia
fazowego między wektorem napięcia i prądu. Współczynnik
cos
φ odgrywa ogromną
rolę
w
praktyce i nosi specjalną
nazwę
współczynnika mocy
.
Moc czynna stanowi składową
stałą
mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RLC a
w granicznym przypadku przy
P
=
U
×
I
×
cos
j
[
W
]
j
=
±
p
/
2
®
P
L
P
=
C
=
0
jest równa zeru. Moc czynna
= osiąga wartość
największą
wtedy, gdy φ
=0
to znaczy gdy odbiornik ma charakter
rezystancyjny,
cos
φ
=1.
Wartość
najmniejszą
(P=0)
U
×
I
(P=0)
moc osiąga w przypadku granicznym,
to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, Ozna-
cza to, Ŝe
na elementach reaktancyjnych nie wydziela si
ę
moc czynna
.
Z przytoczonych rozwaŜań
wynika, moc czynną
wydzielaną
w rezystorze moŜna
opisać
następującymi wzorami:
j ±
=
p
/
2
P
=
U
×
I
×
cos
j
=
R
×
I
2
1
=
×
U
2
R
w których prąd
I
oraz napięcie
U
odpowiadają
rezystorowi
R
. Jednostką
mocy czynnej jest
wat (W)
, przy czym
(1W=1V
A)
. W praktyce stosuje się
równieŜ
wielokrotności wata w
postaci kilowata
(1kW=1000W)
lub megawata
(1MW=10
6
W)
oraz wartości ułamkowe, np.
miliwat
(MW)
lub mikrowat
(
W).
Do pomiaru mocy czynnej słuŜy watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrządem
pomiarowym posiadającym cewkę
prądową
(o impedancji wewnętrznej bliskiej zeru) do
×
1
i(t)=I
m
sin(
P
(P=0)
gdy
pomiaru prądu gałęziowego obwodu i cewkę
napięciową
(o impedancji wewnętrznej bliskiej
nieskończoności) do pomiaru napięcia między punktami obwodu, dla którego mierzymy moc
czynną. Początki uzwojeń
obu cewek oznaczać
będziemy na schematach przy pomocy
gwiazdek. Znak gwiazdki przy cewce prądowej wskazuje kierunek prądu
I
w
watomierza przy-
jęty za dodatni (prąd płynie od gwiazdki do watomierza). W przypadku cewki napięciowej
gwiazdka wskazuje przyjęty kierunek wyŜszego potencjału (napięcia
U
w
) obwodu. Wskazanie
watomierza jest wówczas określone wzorem, które przy naszych oznaczeniach prądu i napię-
cia watomierza przyjmą
postać
=
U
w
I
×
w
×
cos
j
2
1
P
=
U
×
I
×
cos
j
=
R
×
I
=
×
U
2
R
Cewka i kondensator
Na elementach reaktancyjnych nie wydziela się moc czynna.
j
=
±
p
/
2
®
P
L
P
=
C
=
0
moc bier-
na jest zerowa
Moc bierna mo
Ŝ
e si
ę
wi
ę
c wydziela
ć
jedynie na elementach reaktancyj-
nych
, gdyŜ
tylko dla nich przesunięcie fazowe prądu i napięcia jest róŜne od zera. Przesunię-
cie fazowe prądu i napięcia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje
wartość
dla cewki
(+90
o
)
oraz dla kondensatora
(-90
o
)
, co oznacza,
z
e sinus kąta jest odpo-
wiednio równy
+1
dla cewki (moc bierna cewki jest uwaŜana za dodatnią) oraz dla kondensa-
tora
-1
(moc bierna kondensatora jest uwaŜana za ujemną). Stąd przy pominięciu znaku wzór
na moc bierną
elementów reaktancyjnych o reaktancji moŜe być
przedstawiony w trzech
równorzędnych postaciach:
j
=
0
®
Q
=
0
Q
=
U
×
I
×
sin
j
=
X
×
I
2
=
1
×
U
2
X
W ogólności kąt przesunięcia fazowego φ uwaŜa się
za dodatni dla obwodów o charakterze
indukcyjnym (napięcie wyprzedza prąd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemno-
ściowym (napięcie opóźnia się
względem prądu). Moc bierna obwodów o charakterze induk-
cyjnym jest w sumie mocą
indukcyjną, kojarzona z liczbą
dodatnią
a moc bierna obwodów
o charakterze pojemnościowym jest więc w sumie mocą
pojemnościową
i kojarzoną
z licz-
bą
ujemną.
Rezystor:
j
=
0
®
Q
=
0
2
P
Przyjmując załoŜenie idealizujące, Ŝe
impedancja cewki prądowej watomierza jest równa zeru a cewki napięciowej równa nieskoń-
czoności watomierz nie ma Ŝadnego wpływu na rozpływy prądów i rozkłady napięć
w bada-
nym obwodzie elektrycznym.
Rezystor:
3. Moc bierna
W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego definiuje się
trzecią
wielkość
energe-
tyczną
będącą
iloczynem napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między
nimi. Wielkość
ta oznaczana jest literą
Q
QQ
Q
i nazywana mocą
bierną
.
Jednostką
mocy biernej jest
war
(var) będący skrótem nazwy woltamper reaktywny. Wprzy-
padku rezystora, dla którego przesunięcie fazowe jest równe zeru (
Indukcyjno
ść
Q
=
U
×
I
×
sin
j
=
X
×
I
2
=
1
×
U
2
L
L
X
L
Kondensator
Q
=
U
×
I
×
sin
j
=
-
X
×
I
2
=
-
1
×
U
2
C
C
X
C
4. Moc pozorna zespolona
Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana
moc pozorna zespolona
. Jest ona proporcjonalna do wartości skutecznych prądu i napięcia, i
oznaczana literą
S
. Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako liczba zespolona
w postaci iloczynu wartości skutecznej zespolonej napięcia
U
i wartości skutecznej sprzęŜo-
nej prądu
I
.
ZaleŜność
na moc pozorną
zespoloną
moŜna przedstawić
równieŜ
w postaci wykładniczej
j
S
=
U
×
I
*
=
P
+
jQ
VA
]
. W zaleŜności tej
S
wyraŜa
moduł mocy pozornej zespolonej
, który moŜe być
wyraŜony w postaci iloczynu modułów wartości skutecznych prądu i napięcia:
2
=
S
e
Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku moŜliwe jest wyznaczenie
współczynnika mocy. Mianowicie:
S
=
U
×
I
=
P
2
+
Q
cos
j
=
P
S
Wartość
współczynnika mocy wyznaczona z powyŜszej zaleŜności jest identyczna z warto-
ścią
wynikającą
z relacji prądowo-napięciowych zachodzących dla wielkości bramowych
obwodu.
Rys. 1. Wykres wektorowy mocy dla obwodu: a) o charakterze indukcyjnym, b) charakterze po-
jemno
ś
ciowym
5. Zestawienie wzorów na moce
Dla ułatwienia korzystania z pojęć mocy zestawiono poniŜej najwaŜniejsze postacie wzo-
rów na moc czynną, bierną i pozorną
·
Moc pozorna zespolona
3
[
S
S
=
U
×
I
*
=
P
+
jQ
·
Moc czynna
U
2
P
=
Re(
S
)
=
U
×
I
×
cos
j
=
I
2
×
R
=
R
R
·
Moc bierna
U
2
Q
=
Im(
S
)
=
U
×
I
×
sin
j
=
±
I
2
×
X
=
X
X
Znak plus dotyczy mocy biernej cewki a minus kondensatora.
6. Bilans mocy
W obwodzie elektrycznym, jak w kaŜdym układzie fizycznym obowiązuje prawo zacho-
wania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu
mocy. Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez źródło (lub wiele źródeł wy-
stępujących w obwodzie) oznaczymy przez
S
g
a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzie-
loną w elementach odbiornika przez
S
o
, to biorąc pod uwagę prawo zachowania energii obie
moce muszą być sobie równe, to znaczy
S
o
=S
g
. Jest to tak zwana zasada
bilansu mocy
w
obwodach elektrycznych.
W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, Ŝe zwroty prądów i
napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach źródłowych taki
same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na gałęziach ob-
wodu, zakładającą, Ŝe niezaleŜnie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są
przeciwne sobie, to zasadę bilansu mocy moŜna sformułować w ten sposób, Ŝe suma mocy
pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa
zeru:
S
g
+S
o
=0
.
Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć
mocy oraz zasady bilansowania się
mocy
rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rysunku 2. Niech dany będzie obwód
RLC o strukturze przedstawionej na rysunku zasilany z sinusoidalnego źródła napięcia
]
(
t
)
=
100
2
sin(
w
t
+
45
o
)
[
V
4
o wartości w
=1 rad/s
. Wartości elementów obwodu są
na-
stępujące:
R=1
, C=0.5F, L=1H.
NaleŜy wyznaczyć
wartości skuteczne zespolone prądów i
napięć
elementów oraz moce i bilans mocy w obwodzie.
e
Rys. 2. Ilustracja do przykładu nr 1
Rozwi
ą
zanie
Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w obwodzie przy danych warto-
ściach elementów są
równe:
Z
L
=
j
w
L
=
j
×
1
×
1
Z
=
-
j
1
=
-
j
1
=
-
j
×
2
C
w
C
1
×
0
.
5
E
=
100
e
j
45
o
=
100
+
100
×
j
Impedancja zastępcza połączenia równoległego L i R równa się
:
Z
=
R
×
Z
L
=
0
.
707
e
j
45
o
=
0
.
5
+
0
.
5
j
RL
R
+
Z
L
Impedancja zastępcza połączenia szeregowego
Z
C
i
Z
RL
jest równa:
Z
=
Z
+
Z
=
-
j
×
2
+
0
.
5
+
j
×
0
.
5
=
1
.
58
e
-
j
×
71
.
6
=
0
.
1
-
1
5
j
C
RL
Napięcia na poszczególnych elementach obwodu dane są
w postaci:
E
100
e
j
45
o
I
=
=
=
63
.
3
e
j
116
.
6
o
=
-
40
+
80
j
C
Z
1
.
58
e
-
j
71
.
6
o
U
=
Z
×
I
=
126
.
6
e
j
26
.
6
o
=
160
+
80
j
C
C
C
U
=
Z
×
I
=
44
.
72
e
j
161
.
6
o
=
-
60
+
20
j
RL
RL
C
Prądy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma wynoszą:
I
=
U
RL
=
44
.
72
e
j
71
.
6
o
=
20
+
60
j
L
Z
L
U
I
=
RL
=
44
.
72
e
161
.
6
o
=
-
60
+
20
j
R
R
Na rys. 3 przedstawiono wykresy wektorowe prądów i napięć w obwodzie:
5
.
j
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl