W01

W01, Budownictwo-studia, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72,
cmiel@agh.edu.pl
Podręczniki
:

Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część
I Algebra, Wydawnictwa AGH

Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd.
AGH2005, SU1679

Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd . AGH2006

Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.)
Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy
Zbiory zadań
:

Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne
orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość)
Prawda
(
TRUE
, 1);
Fałsz
(
FALSE
,
0 ) (
czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu
). Nie są zdaniami logicznymi zdania
pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne
(spójniki):
-
jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja
- ~ - (nieprawda, że ...)
-
dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja
- ∧ - (...i... )
alternatywa
- ∨ - (...lub...)
implikacja
- ⇒ - (jeżeli ..., to...)
równoważność
- ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
p
~
p
p
q
p

q
p

q
p

q
p

q
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Prawa logiczne
(tautologie) – zawsze prawdziwe
1.
pr. podwójnego przeczenia
~
(~
p

)
p
2.
pr. wyłączonego środka
p
~∨
(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)
p
3.
pr. sprzeczności
~
(
p

(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)
~
p
)
4.
pr. kontrapozycji
(
p

q
)

(~
q

~
p
)
5.
pr. przemienności koniunkcji
p

q

q

p
6.
pr. przemienności alternatywy
p

q

q

p
7.
pr. de Morgana:
~
(
p

q
)

(~
p

~
q
)
;
~
(
p

q
)

(~
p

~
q
)
8.
pr. zaprzeczania implikacji
~
(
p

q
)

(
p

~
q
)
9.
pr. „nie wprost”
(
p

q
)

{(
p

~
q
)

~
p
}
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
10.
pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
(
p

(
q

r
))

((
p

q
)

(
p

r
))
11.
pr. rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
(
p

(
q

r
))

((
p

q
)

(
p

r
))
Warunek konieczny
(WK)
i wystarczający
(WW):
p

q
p
jest warunkiem wystarczającym dla
q
, a
q
jest warunkiem koniecznym dla
p
.
p

q
p
jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla
q
.
p

tw. proste
p
q
Kwadrat logiczny:
q

tw. odwrotne (do prostego)
q
~ ⇒ tw. przeciwne
p
p
~
~ ⇒ tw. przeciwstawne
q
~
Formy (funkcje) zdaniowe
– zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości
logicznej, gdyż zawierają zmienną przebiegającą pewien zbiór
X
(zwany dziedziną formy zdaniowej),
jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się
zdaniem logicznym.
Uwaga. Każde równanie jest formą zdaniową
Kwantyfikatory
:
∀- dla każdego
∃ - istnieje

∼∀
x

X
p
(
x
) ⇔ ∃
x

X

p
(
x
)

∼∃
x

X
p
(
x
) ⇔ ∀
x

X
v ∼
p
(
x
)


x

X
[
p
(
x
)∧
q
(
x
)] ⇔ [∀
x

X
p
(
x
) ∧ ∀
x

X
q
(
x
)]


x

X
[
p
(
x
)∨
q
(
x
)] ⇔ [∃
x

X
p
(
x
) ∨ ∃
x

X
q
(
x
)]

[∀
x

X
p
(
x
) ∨ ∀
x

X
q
(
x
)] ⇒ ∀
x

X
[
p
(
x
) ∨
q
(
x
)]


x

X
[
p
(
x
) ∧
q
(
x
)] ⇒ [∃
x

X
p
(
x
) ∧ ∃
x

X
q
(
x
)]
Zasada indukcji matematycznej
{
T
(
n
0
)

(

n

n
0
T
(
n
)

T
(
n
+
))}


n

n
0
T
(
n
)
Elementy teorii mnogości
Zbiór, przynależność do zbioru – to pojęcia pierwotne, (niedefiniowane).
Sposoby określania konkretnych zbiorów:

wypisanie elementów,

podanie warunku przynależności.
np.
A
=
{
x

X
:
p
(
x
)}
B
=
{
x

X
:
q
(
x
)}
2
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
A

B
=
{
x
:
x

A

x

B
}
=
{
x

X
:
p
(
x
)

q
(
x
)}
A

B
=
{
x
:
x

A

x

B
}
=
{
x

X
:
p
(
x
)

q
(
x
)}
Analogie
mnogościowo-logiczne
A

B
=
{
x
:
x

A

x

B
}
=
{
x

X
:
p
(
x
)

~
q
(
x
)}
A
=
{
x
:
x

A
}
=
{
x

X
:~
p
(
x
)}
A

B

(
x

A

x

B
)

(

:
p
(
x
)

q
(
x
))
x

X
A
=
B

(
x

A

x

B
)

(

x

X
:
p
(
x
)

q
(
x
))
Tożsamości ułatwiające dowody twierdzeń z kwantyfikatorami


x

X
p
(
x
) ⇔ {
x
:∈
X
:
p
(
x
) }=
X


x

X
p
(
x
) ⇔ {
x
:∈
X
:
p
(
x
) }≠∅
Iloczyn kartezjański zbiorów
Intuicja
Para uporządkowana (
x
,
y
) to zbiór dwuelementowy w którym określono kolejność
elementów
Formalna mnogościowa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej
(
x
,
y
)={{
x
},{
x
,
y
}}
Definicja ta spełnia podstawowy warunek
:
(
a
,
b
)= (
c
,
d
) ⇔
a
=
c

b
=
d
Niech
A
i
B
będą dwoma niepustymi zbiorami
Def
: Iloczynem kartezjańskim zbiorów
A
,
B
≠φ; nazywamy zbiór
A
×
B
=
{(
x
,
y
)
:
x

A

y

B
}
czyli zbiór par uporządkowanych, takich, że pierwszy element pary należy do pierwszego zbioru, a
drugi element do drugiego zbioru.
Przykład
.
A
={1,2,3},
B
={•,∗} ,
A
×
B
={(1, •),(2, •),(3, •),(1, ∗),(2, ∗),(3, ∗)}
Uwagi o mnogościowej definicji pary (
a
,
b
)
Para to ciąg 2-elementowy → ciąg to funkcja na zbiorze
N
→ funkcja to relacja prawostronnie
jednoznaczna → relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego → iloczyn kartezjański to zbiór par
Uwaga
. Elementy teorii relacji: w szczególności relacje równoważności, relacje porządkujące i
pojęcia związane z porządkiem oraz funkcje i pojęcia związane z funkcjami zostaną omówione na
wykładzie z analizy matematycznej.
3
'
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • diabelki.xlx.pl
  • Podobne
    Powered by wordpress | Theme: simpletex | © Spojrzeliśmy na siebie szukając słów, które nie istniały.