W01, Budownictwo-studia, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72, cmiel@agh.edu.pl Podręczniki : • Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część I Algebra, Wydawnictwa AGH • Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd. AGH2005, SU1679 • Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd . AGH2006 • Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.) Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy Zbiory zadań : • Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna Elementy logiki matematycznej Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda ( TRUE , 1); Fałsz ( FALSE , 0 ) ( czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu ). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące. Funktory logiczne (spójniki): - jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie) negacja - ~ - (nieprawda, że ...) - dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np. koniunkcja - ∧ - (...i... ) alternatywa - ∨ - (...lub...) implikacja - ⇒ - (jeżeli ..., to...) równoważność - ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...) p ~ p p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Prawa logiczne (tautologie) – zawsze prawdziwe 1. pr. podwójnego przeczenia ~ (~ p ⇔ ) p 2. pr. wyłączonego środka p ~∨ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe) p 3. pr. sprzeczności ~ ( p ∧ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe) ~ p ) 4. pr. kontrapozycji ( p ⇒ q ) ⇔ (~ q ⇒ ~ p ) 5. pr. przemienności koniunkcji p ∧ q ⇔ q ∧ p 6. pr. przemienności alternatywy p ∨ q ⇔ q ∨ p 7. pr. de Morgana: ~ ( p ∧ q ) ⇔ (~ p ∨ ~ q ) ; ~ ( p ∨ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q ) 8. pr. zaprzeczania implikacji ~ ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) 9. pr. „nie wprost” ( p ⇒ q ) ⇔ {( p ∧ ~ q ) ⇒ ~ p } 1 Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl 10. pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy ( p ∧ ( q ∨ r )) ⇔ (( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )) 11. pr. rozdzielności alternatywy względem koniunkcji ( p ∨ ( q ∧ r )) ⇔ (( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )) Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW): p ⇒ q p jest warunkiem wystarczającym dla q , a q jest warunkiem koniecznym dla p . p ⇔ q p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q . p ⇒ tw. proste p q Kwadrat logiczny: q ⇒ tw. odwrotne (do prostego) q ~ ⇒ tw. przeciwne p p ~ ~ ⇒ tw. przeciwstawne q ~ Formy (funkcje) zdaniowe – zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości logicznej, gdyż zawierają zmienną przebiegającą pewien zbiór X (zwany dziedziną formy zdaniowej), jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się zdaniem logicznym. Uwaga. Każde równanie jest formą zdaniową Kwantyfikatory : ∀- dla każdego ∃ - istnieje • ∼∀ x ∈ X p ( x ) ⇔ ∃ x ∈ X ∼ p ( x ) • ∼∃ x ∈ X p ( x ) ⇔ ∀ x ∈ X v ∼ p ( x ) • ∀ x ∈ X [ p ( x )∧ q ( x )] ⇔ [∀ x ∈ X p ( x ) ∧ ∀ x ∈ X q ( x )] • ∃ x ∈ X [ p ( x )∨ q ( x )] ⇔ [∃ x ∈ X p ( x ) ∨ ∃ x ∈ X q ( x )] • [∀ x ∈ X p ( x ) ∨ ∀ x ∈ X q ( x )] ⇒ ∀ x ∈ X [ p ( x ) ∨ q ( x )] • ∃ x ∈ X [ p ( x ) ∧ q ( x )] ⇒ [∃ x ∈ X p ( x ) ∧ ∃ x ∈ X q ( x )] Zasada indukcji matematycznej { T ( n 0 ) ∧ ( ∀ n ≥ n 0 T ( n ) ⇒ T ( n + ))} ⇒ ∀ n ≥ n 0 T ( n ) Elementy teorii mnogości Zbiór, przynależność do zbioru – to pojęcia pierwotne, (niedefiniowane). Sposoby określania konkretnych zbiorów: • wypisanie elementów, • podanie warunku przynależności. np. A = { x ∈ X : p ( x )} B = { x ∈ X : q ( x )} 2 1 Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B } = { x ∈ X : p ( x ) ∨ q ( x )} A ∩ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B } = { x ∈ X : p ( x ) ∨ q ( x )} Analogie mnogościowo-logiczne A − B = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B } = { x ∈ X : p ( x ) ∧ ~ q ( x )} A = { x : x ∉ A } = { x ∈ X :~ p ( x )} A ⊂ B ⇔ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ⇔ ( ∀ : p ( x ) ⇒ q ( x )) x ∈ X A = B ⇔ ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) ⇔ ( ∀ x ∈ X : p ( x ) ⇔ q ( x )) Tożsamości ułatwiające dowody twierdzeń z kwantyfikatorami • ∀ x ∈ X p ( x ) ⇔ { x :∈ X : p ( x ) }= X • ∃ x ∈ X p ( x ) ⇔ { x :∈ X : p ( x ) }≠∅ Iloczyn kartezjański zbiorów Intuicja Para uporządkowana ( x , y ) to zbiór dwuelementowy w którym określono kolejność elementów Formalna mnogościowa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej ( x , y )={{ x },{ x , y }} Definicja ta spełnia podstawowy warunek : ( a , b )= ( c , d ) ⇔ a = c ∧ b = d Niech A i B będą dwoma niepustymi zbiorami Def : Iloczynem kartezjańskim zbiorów A , B ≠φ; nazywamy zbiór A × B = {( x , y ) : x ∈ A ∧ y ∈ B } czyli zbiór par uporządkowanych, takich, że pierwszy element pary należy do pierwszego zbioru, a drugi element do drugiego zbioru. Przykład . A ={1,2,3}, B ={•,∗} , A × B ={(1, •),(2, •),(3, •),(1, ∗),(2, ∗),(3, ∗)} Uwagi o mnogościowej definicji pary ( a , b ) Para to ciąg 2-elementowy → ciąg to funkcja na zbiorze N → funkcja to relacja prawostronnie jednoznaczna → relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego → iloczyn kartezjański to zbiór par Uwaga . Elementy teorii relacji: w szczególności relacje równoważności, relacje porządkujące i pojęcia związane z porządkiem oraz funkcje i pojęcia związane z funkcjami zostaną omówione na wykładzie z analizy matematycznej. 3 ' [ Pobierz całość w formacie PDF ] |