W01

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72,
cmiel@agh.edu.pl
Podręczniki
:
•
Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część
I Algebra, Wydawnictwa AGH
•
Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd.
AGH2005, SU1679
•
Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd . AGH2006
•
Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.)
Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy
Zbiory zadań
:
•
Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne
orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość)
Prawda
(
TRUE
, 1);
Fałsz
(
FALSE
,
0 ) (
czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu
). Nie są zdaniami logicznymi zdania
pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne
(spójniki):
-
jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja
- ~ - (nieprawda, że ...)
-
dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja
- ∧ - (...i... )
alternatywa
- ∨ - (...lub...)
implikacja
- ⇒ - (jeżeli ..., to...)
równoważność
- ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
p
~
p
p
q
p
∧
q
p
∨
q
p
⇒
q
p
⇔
q
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Prawa logiczne
(tautologie) – zawsze prawdziwe
1.
pr. podwójnego przeczenia
~
(~
p
⇔
)
p
2.
pr. wyłączonego środka
p
~∨
(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)
p
3.
pr. sprzeczności
~
(
p
∧
(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)
~
p
)
4.
pr. kontrapozycji
(
p
⇒
q
)
⇔
(~
q
⇒
~
p
)
5.
pr. przemienności koniunkcji
p
∧
q
⇔
q
∧
p
6.
pr. przemienności alternatywy
p
∨
q
⇔
q
∨
p
7.
pr. de Morgana:
~
(
p
∧
q
)
⇔
(~
p
∨
~
q
)
;
~
(
p
∨
q
)
⇔
(~
p
∧
~
q
)
8.
pr. zaprzeczania implikacji
~
(
p
⇒
q
)
⇔
(
p
∧
~
q
)
9.
pr. „nie wprost”
(
p
⇒
q
)
⇔
{(
p
∧
~
q
)
⇒
~
p
}
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
10.
pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
(
p
∧
(
q
∨
r
))
⇔
((
p
∧
q
)
∨
(
p
∧
r
))
11.
pr. rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
(
p
∨
(
q
∧
r
))
⇔
((
p
∨
q
)
∧
(
p
∨
r
))
Warunek konieczny
(WK)
i wystarczający
(WW):
p
⇒
q
p
jest warunkiem wystarczającym dla
q
, a
q
jest warunkiem koniecznym dla
p
.
p
⇔
q
p
jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla
q
.
p
⇒
tw. proste
p
q
Kwadrat logiczny:
q
⇒
tw. odwrotne (do prostego)
q
~ ⇒ tw. przeciwne
p
p
~
~ ⇒ tw. przeciwstawne
q
~
Formy (funkcje) zdaniowe
– zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości
logicznej, gdyż zawierają zmienną przebiegającą pewien zbiór
X
(zwany dziedziną formy zdaniowej),
jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się
zdaniem logicznym.
Uwaga. Każde równanie jest formą zdaniową
Kwantyfikatory
:
∀- dla każdego
∃ - istnieje
•
∼∀
x
∈
X
p
(
x
) ⇔ ∃
x
∈
X
∼
p
(
x
)
•
∼∃
x
∈
X
p
(
x
) ⇔ ∀
x
∈
X
v ∼
p
(
x
)
•
∀
x
∈
X
[
p
(
x
)∧
q
(
x
)] ⇔ [∀
x
∈
X
p
(
x
) ∧ ∀
x
∈
X
q
(
x
)]
•
∃
x
∈
X
[
p
(
x
)∨
q
(
x
)] ⇔ [∃
x
∈
X
p
(
x
) ∨ ∃
x
∈
X
q
(
x
)]
•
[∀
x
∈
X
p
(
x
) ∨ ∀
x
∈
X
q
(
x
)] ⇒ ∀
x
∈
X
[
p
(
x
) ∨
q
(
x
)]
•
∃
x
∈
X
[
p
(
x
) ∧
q
(
x
)] ⇒ [∃
x
∈
X
p
(
x
) ∧ ∃
x
∈
X
q
(
x
)]
Zasada indukcji matematycznej
{
T
(
n
0
)
∧
(
∀
n
≥
n
0
T
(
n
)
⇒
T
(
n
+
))}
⇒
∀
n
≥
n
0
T
(
n
)
Elementy teorii mnogości
Zbiór, przynależność do zbioru – to pojęcia pierwotne, (niedefiniowane).
Sposoby określania konkretnych zbiorów:
•
wypisanie elementów,
•
podanie warunku przynależności.
np.
A
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)}
B
=
{
x
∈
X
:
q
(
x
)}
2
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∨
q
(
x
)}
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∨
q
(
x
)}
Analogie
mnogościowo-logiczne
A
−
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
∧
~
q
(
x
)}
A
=
{
x
:
x
∉
A
}
=
{
x
∈
X
:~
p
(
x
)}
A
⊂
B
⇔
(
x
∈
A
⇒
x
∈
B
)
⇔
(
∀
:
p
(
x
)
⇒
q
(
x
))
x
∈
X
A
=
B
⇔
(
x
∈
A
⇔
x
∈
B
)
⇔
(
∀
x
∈
X
:
p
(
x
)
⇔
q
(
x
))
Tożsamości ułatwiające dowody twierdzeń z kwantyfikatorami
•
∀
x
∈
X
p
(
x
) ⇔ {
x
:∈
X
:
p
(
x
) }=
X
•
∃
x
∈
X
p
(
x
) ⇔ {
x
:∈
X
:
p
(
x
) }≠∅
Iloczyn kartezjański zbiorów
Intuicja
Para uporządkowana (
x
,
y
) to zbiór dwuelementowy w którym określono kolejność
elementów
Formalna mnogościowa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej
(
x
,
y
)={{
x
},{
x
,
y
}}
Definicja ta spełnia podstawowy warunek
:
(
a
,
b
)= (
c
,
d
) ⇔
a
=
c
∧
b
=
d
Niech
A
i
B
będą dwoma niepustymi zbiorami
Def
: Iloczynem kartezjańskim zbiorów
A
,
B
≠φ; nazywamy zbiór
A
×
B
=
{(
x
,
y
)
:
x
∈
A
∧
y
∈
B
}
czyli zbiór par uporządkowanych, takich, że pierwszy element pary należy do pierwszego zbioru, a
drugi element do drugiego zbioru.
Przykład
.
A
={1,2,3},
B
={•,∗} ,
A
×
B
={(1, •),(2, •),(3, •),(1, ∗),(2, ∗),(3, ∗)}
Uwagi o mnogościowej definicji pary (
a
,
b
)
Para to ciąg 2-elementowy → ciąg to funkcja na zbiorze
N
→ funkcja to relacja prawostronnie
jednoznaczna → relacja to podzbiór iloczynu kartezjańskiego → iloczyn kartezjański to zbiór par
Uwaga
. Elementy teorii relacji: w szczególności relacje równoważności, relacje porządkujące i
pojęcia związane z porządkiem oraz funkcje i pojęcia związane z funkcjami zostaną omówione na
wykładzie z analizy matematycznej.
3
'
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl