W02 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2 Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych Dr Joanna BanaĻ Zakład Badaı Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczeci ı skiej Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2 5. Funkcje zmiennych losowych £ Funkcja jest odwzorowaniem borelowskim, je Ļ li (5.1) £ (5.2) Uwagi a) Warunkowi (5.1) równowa Ň ny jest warunek g : y y " B Î B y y x Î g x B Î Î } B ( ) y : W ® y Y g " y Î y y x Î : ( ) g x y < Î B } ( ) y y b) Ka Ň da funkcja ci Ģ gła jest odwzorowaniem borelowskim £ (5.3) Twierdzenie X − zmienna losowa, okre Ļ lona na przestrzeni probabilistycznej (W, Z , P ), g − dowolna funkcja borelowska Funkcja , okre Ļ lona wzorem dla wÎW, jest zmienn Ģ losow Ģ . Y W ® y : Y g X = ( ), tzn. ( ) Y w = g X ( ( ) w ) £ Y g X ( ) − funkcja zmiennej losowej X Opracowała Joanna Bana Ļ ® ( ) { : ( ) X { = Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2 Funkcje zmiennych losowych typu skokowego £ (5.4) Twierdzenie Je Ļ li X jest zmienn Ģ losow Ģ typu skokowego o zbiorze atomów i rozkładzie jest równie Ň typu skokowego o zbiorze atomów i rozkładzie X = { , ,...} x x 1 2 P X x ( = i ) = p i i , = 1, 2,..., to Y g X = ( ) S Y = { ( ), ( ),...} 1 2 P Y g x = ( )) i = Ã { : ( ) ( )} = g x p i k , = 1, 2,... k i £ (5.5) Przykład X jest zmienn Ģ losow Ģ typu skokowego o zbiorze atomów i rozkładzie S = − { 1, 0,1} x p i − 1 0 1 i 1 1 1 4 2 4 Wyznaczy ę rozkład zmiennej a) b) Y = 2 X 2 1 Y = 2 X + 1 Opracowała Joanna Bana Ļ S g x g x ( k g x X Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2 Funkcje zmiennych losowych typu ci Ģ głego £ (5.6) Twierdzenie Je Ļ li X jest zmienn Ģ losow Ģ typu ci Ģ głego o g ħ sto Ļ ci f X i , to zmienna losowa Y tak Ň e jest typu ci Ģ głego i jej g ħ sto Ļę okre Ļ lona jest wzorem Y aX b a = + ( ¹ 0) f y ( ) = Å Æ Ö 1 f Ä Ô y b Y X £ (5.5) Przykład X ma rozkład jednostajny na przedziale ¿ 0,1 Ï , tzn. funkcja g ħ sto Ļ ci okre Ļ lona jest wzorem | | a f x ( ) = Ë 1 dla x Î ¿ Ï 0,1 Wyznaczy ę rozkład zmiennej a) X Ì 0 dla x Ï ¿ Ï 0,1 f x Ê Í 0 dla x < 0 Y = 2 X + 1 1 Í 1 dla 0 £ < x 1 2 b) Y g X = ( ), gdzie ( ) g x = Ë 2 dla 1 2 £ < x 1 Í 0 2 Rys.5.1. G ħ sto Ļę zmiennej losowej X 1 Ì 3 dla x ³ 1 Opracowała Joanna Bana Ļ a ( ) Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2 6. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej £ Warto Ļę oczekiwana ( przeci ħ tna ) zmiennej losowej X, okre Ļ lonej na przestrzeni probabilistycznej (W, Z , P ), to wielko Ļę (6.1) , o ile całka istnieje EX 3 Ð X ( ) w dP £ (6.2) Własno Ļ ci (warto Ļ ci oczekiwanej) a) b) Ec c c = , Î y EX < ¥ , EY < ¥ , , a b Î y ( ¼ E aX bY + ) < ¥ i E aX bY ( + ) = aEX bEY + c) X ³ 0 i EX = 0 ( ¼ P X = = 0) 1 ( X = 0 prawie wsz ħ dzie) Opracowała Joanna Bana Ļ W [ Pobierz całość w formacie PDF ] |