W02 MPiS

W02 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
2
Funkcje i charakterystyki
zmiennych losowych
Dr Joanna BanaĻ
Zakład Badaı Systemowych
Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych
Wydział Informatyki Politechniki Szczeci
ı
skiej
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
2
5. Funkcje zmiennych losowych
£
Funkcja jest odwzorowaniem borelowskim, je
Ļ
li
(5.1)
£
(5.2) Uwagi
a)
Warunkowi (5.1) równowa
Ň
ny jest warunek
g
:
y y
"
B
Î
B
y
y
x
Î
g x B
Î Î
}
B
( )
y
:
W ®
y
Y
g
"
y
Î
y
y
x
Î
: ( )
g x y
< Î
B
}
( )
y
y
b)
Ka
Ň
da funkcja ci
Ģ
gła jest odwzorowaniem borelowskim
£
(5.3) Twierdzenie
X
− zmienna losowa, okre
Ļ
lona na przestrzeni probabilistycznej (W,
Z
,
P
),
g
− dowolna funkcja borelowska
Funkcja , okre
Ļ
lona wzorem
dla wÎW, jest zmienn
Ģ
losow
Ģ
.
Y
W ®
y
:
Y g X
=
( ), tzn. ( )
Y
w =
g X
(
( )
w
)
£
Y g X
( )

funkcja zmiennej losowej X
Opracowała Joanna Bana
Ļ
®
( )
{
: ( )
X
{
=
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
2
Funkcje zmiennych losowych typu
skokowego
£
(5.4) Twierdzenie
Je
Ļ
li
X
jest zmienn
Ģ
losow
Ģ
typu skokowego o zbiorze atomów
i rozkładzie
jest równie
Ň
typu skokowego o zbiorze atomów
i rozkładzie
X
=
{ , ,...}
x x
1
2
P X x
(
=
i
)
=
p i
i
,
=
1, 2,..., to
Y g X
=
( )
S
Y
=
{ ( ), ( ),...}
1
2
P Y g x
=
( ))
i
=
Ã
{ : ( ) ( )}
=
g x
p i
k
,
=
1, 2,...
k
i
£
(5.5) Przykład
X
jest zmienn
Ģ
losow
Ģ
typu skokowego o zbiorze atomów
i rozkładzie
S
= −
{ 1, 0,1}
x
p
i

1 0 1
i
1
1
1
4
2
4
Wyznaczy
ę
rozkład zmiennej
a)
b)
Y
=
2
X
2
1
Y
=
2
X
+
1
Opracowała Joanna Bana
Ļ
S
g x g x
(
k g x
X
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
2
Funkcje zmiennych losowych typu
ci
Ģ
głego
£
(5.6) Twierdzenie
Je
Ļ
li
X
jest zmienn
Ģ
losow
Ģ
typu ci
Ģ
głego o g
ħ
sto
Ļ
ci
f
X
i , to zmienna losowa
Y
tak
Ň
e jest typu ci
Ģ
głego i jej g
ħ
sto
Ļę
okre
Ļ
lona jest wzorem
Y aX b a
=
+
(
¹
0)
f y
( )
=
Å
Æ Ö
1
f
Ä Ô
y b
Y
X
£
(5.5) Przykład
X
ma rozkład jednostajny na przedziale
¿
0,1
Ï
, tzn. funkcja g
ħ
sto
Ļ
ci
okre
Ļ
lona jest wzorem
| |
a
f x
( )
=
Ë
1 dla
x
Î
¿ Ï
0,1
Wyznaczy
ę
rozkład zmiennej
a)
X
Ì
0 dla
x
Ï
¿ Ï
0,1
f x
Ê
Í
0 dla
x
<
0
Y
=
2
X
+
1
1
Í
1 dla 0
£ <
x
1
2
b)
Y g X
=
( ), gdzie ( )
g x
=
Ë
2 dla
1
2
£ <
x
1
Í
0 2
Rys.5.1. G
ħ
sto
Ļę
zmiennej losowej
X
1
Ì
3 dla
x
³
1
Opracowała Joanna Bana
Ļ
a
( )
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
2
6. Charakterystyki liczbowe zmiennej
losowej
£
Warto
Ļę
oczekiwana
(
przeci
ħ
tna
) zmiennej losowej X,
okre
Ļ
lonej na przestrzeni probabilistycznej (W,
Z
,
P
), to
wielko
Ļę
(6.1) , o ile całka istnieje
EX
3
Ð
X
( )
w
dP
£
(6.2) Własno
Ļ
ci (warto
Ļ
ci oczekiwanej)
a)
b)
Ec c c
=
,
Î
y
EX
< ¥
,
EY
< ¥
, ,
a b
Î
y
(
¼
E aX bY
+
)
< ¥
i
E aX bY
(
+
)
=
aEX bEY
+
c)
X
³
0 i
EX
=
0 (
¼
P X
= =
0) 1 (
X
=
0 prawie wsz
ħ
dzie)
Opracowała Joanna Bana
Ļ
W
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • diabelki.xlx.pl
  • Podobne
    Powered by wordpress | Theme: simpletex | © Spojrzeliśmy na siebie szukając słów, które nie istniały.