W04 MPiS

W04 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
4
Niezale
Ň
no
Ļę
zmiennych, funkcje
i charakterystyki wektora losowego,
centralne twierdzenia graniczne
Dr Joanna BanaĻ
Zakład Badaı Systemowych
Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych
Wydział Informatyki Politechniki Szczeci
ı
skiej
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
3
11. Niezale
Ň
no
Ļę
zmiennych losowych
£
Zmienne losowe
X
1
,…,
X
n
B B
, ,...,
n
B
Ì
y
s
Ģ
niezale
Ň
ne
, je
Ļ
li dla dowolnych zbiorów
niezale
Ň
ne s
Ģ
zdarzenia
{
X B
Î
}, {
X B
Î
},...,
1
2
1
1
2
2
{
X B
Î
}
, tzn. gdy
n
n
(11.1)
P X B X
(
1
Î
1
,
2
Î
B
2
,...,
X
n
Î
B
n
)
=
P X B P X
(
1
Î
1
) (
×
2
Î
B
2
) ... (
× ×
P X
n
Î
B
n
)
£
(11.2) Twierdzenie
Zmienne losowe
X
1
,…,
X
n
s
Ģ
niezale
Ň
ne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka
Ň
dego
n
( , ,..., )
x x
x
Î
y
1
2
n
P X x X
(
1
<
1
,
2
<
x
2
,...,
X
n
<
x
n
)
=
P X x P X
(
1
< ×
1
) (
2
<
x
2
) ... (
× ×
P X
n
<
x
n
)
£
(11.3) Wniosek
Zmienne losowe
X
1
,…,
X
n
s
Ģ
niezale
Ň
ne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka
Ň
dego
( , ,..., )
x x
x
Î
y
n
1
2
n
F x x
( , ,..., )
1
2
x
n
=
F x F x
X
1
( )
1
×
X
2
( ) ...
2
× ×
F x
X
n
( )
n
Opracowała Joanna Bana
Ļ
borelowskich
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
3
Własno
Ļ
ci niezale
Ň
nych zmiennych
losowych
£
(11.4) Twierdzenie
X
,
Y
− zmienne losowe typu skokowego o atomach
x
i
,
i
= 1,2,…,
y
j
,
j
= 1,2,… odpowiednio
X
,
Y
s
Ģ
niezale
Ň
ne
Û "
i j
P X x Y y
=
i
,
=
j
)
=
P X x P Y y
(
= ×
i
) (
=
j
)
£
(11.5) Przykład
Zmienne losowe z przykładu (10.9) s
Ģ
zale
Ň
ne,
gdy
Ň
:));
Y
Atomy
0 1
P X x
(
=
)
i
P X
=
0,
Y
= =
0)
28
45
Ç
È
É
0
28
0
28
X
1
2
8
8
16
¹ × =
P X
(
= ×
0) (
P Y
=
0)
45
45
45
0
1
1
45
45
P Y y
(
=
j
)
4
1
1
Opracowała Joanna Bana
Ļ
(
,
(
45
45
28 4
45 5
5
5
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
3
Własno
Ļ
ci niezale
Ň
nych zmiennych
losowych
£
(11.6) Twierdzenie
X
,
Y
− zmienne losowe typu o g
ħ
sto
Ļ
ciach
f
X
,
f
Y
odpowiednio
X
,
Y
s
Ģ
niezale
Ň
ne
lub równowa
Ň
nie
Û "
x y
,
Î
y
f x y
( , )
=
f x f y
( )
×
Y
( )
"
f x y
( / )
=
f x
( ), gdzie
y
Î Ù
y
y
f y
( ) 0 albo
¹
x
Î
y
X
Y
"
y
Î
y
f y x
( / )
=
f y
Y
( ), gdzie
x
Î Ù
f x
X
( ) 0
¹
£
(11.7) Przykład
Zmienne losowe z przykładu (10.5) s
Ģ
zale
Ň
ne, gdy
Ň
dla punktu
mamy
( , )
K
Î
f
1 1
= ¹ × =
1
2 2
f
1
×
f
1
( )
( )
( )
X
Y
3 3
2
3 3
3
3
gdzie
Í
x
+
1 dla
x
Î
¿

1, 0
Ï
Ê
1
2
dla ( , )
x y K
Î
f x y
=
Ë
f x
X
( ) 1
= −
Ë
Í
x
dla (0,1
x
x
Î
Ï
0 dla ( , )
x y K
Ï
Ì
0
dla
Ï
¿

1,1
Ï
Ì
Opracowała Joanna Bana
Ļ
X
1 1
3 3
,
( , )
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład
3
Własno
Ļ
ci niezale
Ň
nych zmiennych
losowych
£
(11.8) Twierdzenie
X
1
,…,
X
n
− niezale
Ň
ne zmienne losowe
E X X
1
× × ×
2
...
X
n
) i
EX i
i
, 1,..., istniej
Ģ
=
n

¼
E X X
(
1
× × ×
2
...
X
n
)
=
EX EX
1
×
2
× ×
...
EX
n
£
(11.9) Wniosek
X
1
,…,
X
n
− niezale
Ň
ne zmienne losowe o sko
ı
czonej wariancji
¼
D X X
(
+
+ +
...
X
)
=
D X D X
2
+
2
+ +
D X
2
1
2
n
1
2
n
£
(11.10) Przykład
Niech
X
b
ħ
dzie zmienn
Ģ
losow
Ģ
o rozkładzie dwumianowym z parametrami
n
= 1, 2…,
p
Î(0,1), tzn. odpowiada liczbie sukcesów w
n
do
Ļ
wiadczeniach.
Wykaza
ę
,
Ň
e
a)
EX = n
×
p
b)
D
2
X
=
n
×
p
×
q
Opracowała Joanna Bana
Ļ
(
2
...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • diabelki.xlx.pl
  • Podobne
    Powered by wordpress | Theme: simpletex | © Spojrzeliśmy na siebie szukając słów, które nie istniały.