W04 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 4 Niezale Ň no Ļę zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Dr Joanna BanaĻ Zakład Badaı Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczeci ı skiej Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3 11. Niezale Ň no Ļę zmiennych losowych £ Zmienne losowe X 1 ,…, X n B B , ,..., n B Ì y s Ģ niezale Ň ne , je Ļ li dla dowolnych zbiorów niezale Ň ne s Ģ zdarzenia { X B Î }, { X B Î },..., 1 2 1 1 2 2 { X B Î } , tzn. gdy n n (11.1) P X B X ( 1 Î 1 , 2 Î B 2 ,..., X n Î B n ) = P X B P X ( 1 Î 1 ) ( × 2 Î B 2 ) ... ( × × P X n Î B n ) £ (11.2) Twierdzenie Zmienne losowe X 1 ,…, X n s Ģ niezale Ň ne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka Ň dego n ( , ,..., ) x x x Î y 1 2 n P X x X ( 1 < 1 , 2 < x 2 ,..., X n < x n ) = P X x P X ( 1 < × 1 ) ( 2 < x 2 ) ... ( × × P X n < x n ) £ (11.3) Wniosek Zmienne losowe X 1 ,…, X n s Ģ niezale Ň ne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka Ň dego ( , ,..., ) x x x Î y n 1 2 n F x x ( , ,..., ) 1 2 x n = F x F x X 1 ( ) 1 × X 2 ( ) ... 2 × × F x X n ( ) n Opracowała Joanna Bana Ļ borelowskich Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3 Własno Ļ ci niezale Ň nych zmiennych losowych £ (11.4) Twierdzenie X , Y − zmienne losowe typu skokowego o atomach x i , i = 1,2,…, y j , j = 1,2,… odpowiednio X , Y s Ģ niezale Ň ne Û " i j P X x Y y = i , = j ) = P X x P Y y ( = × i ) ( = j ) £ (11.5) Przykład Zmienne losowe z przykładu (10.9) s Ģ zale Ň ne, gdy Ň :)); Y Atomy 0 1 P X x ( = ) i P X = 0, Y = = 0) 28 45 Ç È É 0 28 0 28 X 1 2 8 8 16 ¹ × = P X ( = × 0) ( P Y = 0) 45 45 45 0 1 1 45 45 P Y y ( = j ) 4 1 1 Opracowała Joanna Bana Ļ ( , ( 45 45 28 4 45 5 5 5 Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3 Własno Ļ ci niezale Ň nych zmiennych losowych £ (11.6) Twierdzenie X , Y − zmienne losowe typu o g ħ sto Ļ ciach f X , f Y odpowiednio X , Y s Ģ niezale Ň ne lub równowa Ň nie Û " x y , Î y f x y ( , ) = f x f y ( ) × Y ( ) " f x y ( / ) = f x ( ), gdzie y Î Ù y y f y ( ) 0 albo ¹ x Î y X Y " y Î y f y x ( / ) = f y Y ( ), gdzie x Î Ù f x X ( ) 0 ¹ £ (11.7) Przykład Zmienne losowe z przykładu (10.5) s Ģ zale Ň ne, gdy Ň dla punktu mamy ( , ) K Î f 1 1 = ¹ × = 1 2 2 f 1 × f 1 ( ) ( ) ( ) X Y 3 3 2 3 3 3 3 gdzie Í x + 1 dla x Î ¿ − 1, 0 Ï Ê 1 2 dla ( , ) x y K Î f x y = Ë f x X ( ) 1 = − Ë Í x dla (0,1 x x Î Ï 0 dla ( , ) x y K Ï Ì 0 dla Ï ¿ − 1,1 Ï Ì Opracowała Joanna Bana Ļ X 1 1 3 3 , ( , ) Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3 Własno Ļ ci niezale Ň nych zmiennych losowych £ (11.8) Twierdzenie X 1 ,…, X n − niezale Ň ne zmienne losowe E X X 1 × × × 2 ... X n ) i EX i i , 1,..., istniej Ģ = n − ¼ E X X ( 1 × × × 2 ... X n ) = EX EX 1 × 2 × × ... EX n £ (11.9) Wniosek X 1 ,…, X n − niezale Ň ne zmienne losowe o sko ı czonej wariancji ¼ D X X ( + + + ... X ) = D X D X 2 + 2 + + D X 2 1 2 n 1 2 n £ (11.10) Przykład Niech X b ħ dzie zmienn Ģ losow Ģ o rozkładzie dwumianowym z parametrami n = 1, 2…, p Î(0,1), tzn. odpowiada liczbie sukcesów w n do Ļ wiadczeniach. Wykaza ę , Ň e a) EX = n × p b) D 2 X = n × p × q Opracowała Joanna Bana Ļ ( 2 ... [ Pobierz całość w formacie PDF ] |