W05 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 5 Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Dr Joanna BanaĻ Zakład Badaı Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczeci ı skiej Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 5 16. Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych £ Zespolona zmienna losowa to funkcja s Ģ zmiennymi losowymi, okre Ļ lonymi na przestrzeni probabilistycznej (W, Z , P ) £ Je Ļ li istniej Ģ EX 1 i EX 2 , to (16.1) £ Funkcja charakterystyczna rzeczywistej zmiennej losowej X okre Ļ lonej na przestrzeni probabilistycznej (W, Z , P ) to funkcja dana wzorem (16.2) gdy Ň ze wzoru Eulera £ (16.3) Stwierdzenie a) W ' w ® X 1 w + × i X 2 w Î z , gdzie , : X X W ® y 1 2 E X i X ( 1 + × 2 ) 3 EX i EX 1 + × 2 j X : y z ® j X t Ee ( ) = itX = E (cos ) tX i E + × (sin ) , tX t Î y e ib = cos b i b b + sin , Î y X − typu skokowego o rozkładzie P X x ( = k ) = p k k , 1, 2,... = j ( ) t = Ã Ã e p itx k = p cos tx i + × Ã p sin , tx t Î y X k k k k k k k k b) X − typu ci Ģ głego o g ħ sto Ļ ci f j X t = Ð ¥ e f x dx itx ( ) = Ð ¥ cos tx f x dx i × ( ) + × Ð ¥ sin tx f x dx t × ( ) , Î y −¥ −¥ −¥ Opracowała Joanna Bana Ļ ( ) ( ) ( ) Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 5 Własno Ļ ci funkcji charakterystycznych £ (16.4) Uwagi a) F unkcja charakterystyczna istnieje dla ka Ň dej zmiennej losowej X (zmienna losowa zespolona jest ograniczona, tj. ) b) J e Ļ li nie b ħ dzie to prowadzi ę do nieporozumie ı , b ħ dziemy pisa ę j zamiast j X £ (16.5) Własno Ļ ci (funkcji charakterystycznej zmiennej losowej X ) a) b) c) d) e) | e = | 1 (0) 1 | ( ) | 1 dla t £ t Î y j − = j t ( ) dla t t Î y Y aX b a b + , , Î y ¼ j Y t e = itb × j X ( ) dla t Î y j jest jednostajnie ci Ģ gła Opracowała Joanna Bana Ļ itX j = j ( ) = ( ) at Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 5 Własno Ļ ci funkcji charakterystycznych £ (16.6) Twierdzenie Je Ň eli X 1 , X 2 ,…, X n s Ģ niezale Ň nymi zmiennymi losowymi, to funkcja charakterystyczna sumy tych zmiennych losowych okre Ļ lona jest wzorem j X X + + + 2 ... ( ) X n t = j X 1 ( ) × j X 2 ( ) ... × × j X n ( ) , dla t Î y rozkładzie dwumianowym z parametrami b) W yznaczy ę funkcj ħ charakterystyczn Ģ zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale ¿ a , b Ï n N Î i (0,1) Î o + Opracowała Joanna Bana Ļ t t t 1 £ (16.7) Przykłady a) W yznaczy ę funkcj ħ charakterystyczn Ģ zmiennej losowej S n p Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 5 Własno Ļ ci funkcji charakterystycznych £ (16.8) Twierdzenie Je Ň eli istnieje k -ty moment EX k zmiennej losowej X dla k ³ 1, to istnieje k -ta pochodna funkcji charakterystycznej j oraz j ( ) (0) = i EX k £ (16.9) Wniosek Je Ļ li dla zmiennej losowej X istniej Ģ EX i EX 2 , to EX = j (0) oraz EX 2 = −j ¢¢ (0) i £ (16.10) Przykłady Wyznaczy ę warto Ļę oczekiwan Ģ i wariancj ħ zmiennych losowych ¡ X ma rozkład geometryczny z parametrem p Î(0,1), tzn. P X k q p k ( = = ) k − 1 , = 1, 2,... ¡ X ma rozkład Poissona z parametrem l > 0 , tzn. P X k = = ) l k e −l , k = 0,1, 2,... k ! ¡ X ma rozkład wykładniczy z parametrem l > 0 , tzn. funkcja g ħ sto Ļ ci jest okre Ļ lona wzorem Ê 0 dla 0 x < f x ( ) = Ë l e −l x dla 0 x ³ Ì Opracowała Joanna Bana Ļ k k ( [ Pobierz całość w formacie PDF ] |