W07 MPiS, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7 Estymacja Dr Joanna BanaĻ Zakład Badaı Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczeci ı skiej Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7 20. Estymacja punktowa £ Estymacja punktowa – metoda szacowania pewnego nieznanego parametru rozkładu zmiennej losowej X (cechy populacji), np. EX , D 2 X , na podstawie wyników próby losowej dla zmiennej X (tj. na podstawie warto Ļ ci pewnej konkretnej próbki) £ Estymator parametru q rozkładu zmiennej X to dowolna statystyka T n = T n ( X 1 ,…, X n ), której warto Ļ ci przyjmujemy za ocen ħ wielko Ļ ci parametru q £ (20.1) Uwagi a) J e Ļ li ( x 1 ,…, x n ) jest dowoln Ģ próbk Ģ dla cechy X i t n = T n ( x 1 ,…, x n ), to q » t n b) D la dowolnego parametru q mo Ň na okre Ļ li ę wiele estymatorów (np. dla q = EX mo Ň na rozwa Ň a ęĻ redni Ģ arytmetyczn Ģ , geometryczn Ģ , harmoniczn Ģ , median ħ z próbki), ale zale Ň y nam, aby estymator spełniał pewne własno Ļ ci gwarantuj Ģ ce jego jako Ļę Opracowała Joanna Bana Ļ Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 6 Estymatory zgodne £ Estymator T n to estymator zgodny parametru q, je Ļ li (20.2) " e> lim | ®¥ P T ( n − q ³ e = | ) 0 Û " e> 0 lim | ®¥ P T ( n − q < e = | ) 1 £ (20.3) Uwagi a) Z bie Ň no Ļę z warunków (20.2) jest zbie Ň no Ļ ci Ģ według prawdopodobie ı stwa lub zbie Ň no Ļ ci Ģ stochastyczn Ģ b) D la estymatora zgodnego ze wzrostem liczebno Ļ ci próbki wzrasta dokładno Ļę oszacowania parametru q c) D la danego parametru q mo Ň na utworzy ę wiele estymatorów zgodnych Opracowała Joanna Bana Ļ 0 n n Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 6 Estymatory obci ĢŇ one i nieobci ĢŇ one £ Estymator T n to estymator nieobci ĢŇ ony parametru q, je Ļ li (20.4) £ (20.5) Uwaga ( ) n = q dla ka Ň dego n Î } Estymator nieobci ĢŇ ony szacuje parametr q bez bł ħ du systematycznego £ Je Ň eli E ( T n ) istnieje, ale E ( T n ) ¹ q, to T n nazywamy estymatorem obci ĢŇ onym parametru q, za Ļ ró Ň nic ħ E ( T n ) – q nazywamy obci ĢŇ eniem estymatora £ Estymator T n to estymator asymptotycznie nieobci ĢŇ ony parametru q, je Ļ li (20.6) lim ( ) ®¥ E T n − q = 0 Opracowała Joanna Bana Ļ E T n Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 6 Estymatory efektywne £ Kolejnym kryterium, umo Ň liwiaj Ģ cym ocen ħ estymatorów jest wariancja, która powinna by ę jak najmniejsza £ (20.7) Twierdzenie Je Ļ li estymator T n parametru q jest (asymptotycznie) nieobci ĢŇ ony oraz lim ( ) 0, to jest estymatorem zgodnym ®¥ D T = T n n n £ T n i T n * – dwa estymatory nieobci ĢŇ one parametru q, maj Ģ ce sko ı czone wariancje D 2 ( T n ) i D 2 ( T n * ) Estymator T n jest estymatorem efektywniejszym ni Ň estymator T n * , je Ļ li (20.8) £ Estymator najefektywniejszy ( efektywny ) – estymator nieobci ĢŇ ony T n danego parametru q, który ma najmniejsz Ģ wariancj ħ spo Ļ ród wszystkich nieobci ĢŇ onych estymatorów parametru q D T 2 ( ) < D T ( ) * n n Opracowała Joanna Bana Ļ 2 2 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |