W15, Studia, Metody numeryczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W15 Przykład 1 Dane jest zagadnienie początkowe d d y = f x y ( , ) = y x + , y 0 ( ) 1 = x Za pomocą jawnej metody Eulera obliczyć y 1 oraz y 2 , gdy krok całkowania h = 0.1. x 0 = 0, x 1 = x 0 + h = 0.1, x 2 = x 0 +2h = 0.2 y 0 = 1 y 1 = y 0 + hf(x 0 ,y 0 ) = y 0 + h(y 0 + x 0 ) = 1 + 0.1 = 1.1 y 2 = y 1 + hf(x 1 ,y 1 ) = y 1 + h(y 1 + x 1 ) = 1.1 + 0.1(1.1 + 0.1) = 1.22 Przykład 2 Dane jest zagadnienie początkowe d d y = f x y ( , ) = 2 y × + x , y 1 ( ) 1 = x oraz metoda Heuna rzędu 2-go y i 1 + = y i + h 2 × ( f i f x i 1 + ( + , y i h f i + × ) ) , i = 0,1, .... y 0 1 = , f i f x i y i = ( ) , Obliczyć y 1 , gdy krok całkowania h = 0.2. x 0 = 1, x 1 = x 0 + h = 1.2, y 0 = 1, f 0 = f(x 0 ,y 0 ) = f(1,1) = 3 y 1 = y 0 + 0.1 ( f 0 + f(x 1 ,y 0 + 0.2f 0 ) ) = 1 + 0.1(3 + f(1.2,1.6)) = 1 + 0.1(3+ 3.2 + 1.2) = 1.74 Przykład 3 Napisać kilka pierwszych wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy rozwiązania y = y(x) zagadnienia początkowego d d y = f x y ( ) , = x 2 + y 2 , y 0 ( ) 1 = x Rozwinięcie to ma postać y a 0 a 1 x = + × + a 2 x 2 × + a 3 x 3 × + ........ (*) y ( ) k ( ) 0 gdzie a 0 y 0 = ( ) , a k = dla k = 1, 2, ..... k ! Bezpośrednio z danych zadania wynika, Ŝe a 0 1 = , a 1 1 = RóŜniczkując równanie róŜniczkowe obliczamy y '' = 2x + 2yy' , y ''' = 2 + 2 (y ' ) 2 + 2yy '' Stąd a 2 1 = , a 3 = 8 6 Ostatecznie y 1 x = + + x 2 + 8 6 × x 3 + ........ Uwaga . Rozwiązanie rozwaŜanego zagadnienia jest rozwijalne w szereg potęgowy (*) w pewnym otoczeniu punktu x = 0. Sumy częściowe rozwinięcia (*) stanowią przybliŜenia rozwiązania w przedziałach domkniętych tego otoczenia. [ Pobierz całość w formacie PDF ] |