Wędrychowicz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7.
Równanie Bernoulliego dla płynów lepkich
Równanie Bernoulliego obowiązuje dla płynów idealnych, gdyż tylko płyny
pozbawione lepkości mogą przekształcać bez strat energię mechaniczną. Prostota tego
równania sprawia jednak, że stosowane jest ono także i do opisu ruchu płynu lepkiego, mimo
iż w tym przypadku wszystkie przemiany energii będą nieodwracalne, tzn. że przemiana
jednej postaci energii w drugą zachodzić będzie ze sprawnością mniejszą od jedności.
Oznacza to, że każdej przemianie towarzyszyć będzie strata pewnej części energii i że ta
tracona ilość energii nie będzie mogła być dalej odzyskana.
7.1. Przemiany energii w płynie lepkim.
Przeanalizujmy przepływ płynu lepkiego przez kanał pokazany na rys. 7.1, w którym
całkowita energia przepływu w przekroju 1
1− , którą oznaczać będziemy E wynosi:
E
=
U
2
1
+
p
1
+
g
z
1
2
ρ
1
1− , p jest ciśnieniem statycznym a z jest
wysokością niwelacyjną środka analizowanego przekroju.
1
2
Q
z
1
lepkosc = tarcie
z
2
S
1
S
2
1
ciepło
2
U ; p ; z
U ; p ; z
1
1
1
2
2
2
Rys.7.1.
Przemiany energii w przepływie płynu lepkiego.
Natomiast w przekroju
2 − całkowita energia mechaniczna będzie równa:
2
E
=
U
2
2
+
p
2
+
g
z
2
2
2
ρ
2 − płyn lepki traci energię na skutek tarcia
wewnętrznego (tzn. płynu o płyn) jak i tarcia płynu o ścianę kanału. Tarcie zamienia energię
w ciepło i przemiana ta nazywana dysypacją energii jest nieodwracalna, tzn. niemożliwa jest
zamiana energii cieplnej traconej wskutek tarcia z powrotem w energię mechaniczną.
Całkowita energia przepływu między kolejnymi przekrojami z rys. 7.1 spełnia zatem
nierówność:
1− oraz
2
E > (7.1)
i pozostaje nam teraz określenie, która z form energii mechanicznej ujęta w równaniu
Bernoulliego podlega dysypacji.
1
E
2
Równanie ciągłości dla rurki prądu zapisane być może następująco:
•
Q
=
S
⋅
U
=
S
U
1
1
2
2
114
gdzie U jest średnią prędkością w przekroju 1
gdzie poszczególne oznaczenia przyjęto jak w przekroju poprzedzającym.
W przepływie między przekrojami 1
gdzie
•
Q jest wydatkiem płynu, a jeżeli założymy, że przekrój kanału jest niezmienny, tzn.:
S =
wówczas także i prędkość oraz energia kinetyczna płynu między przekrojami pozostanie
niezmienna:
1
S
2
E
=
U
2
1
=
U
2
2
=
E
k
2
2
k
2
Załóżmy również, że zgodnie z rys. 7.1 kanał jest poziomy, co sprawia, że wysokość
niwelacyjna, a co za tym idzie także i energia potencjalna położenia w poszczególnych
przekrojach jest niezmienna
z =
Nierówność (7.1) wymaga zatem, aby spełniona była relacja:
1
z
2
p >
co oznacza, że dysypacja energii zachodząca w płynie lepkim powoduje stratę energii
potencjalnej ciśnienia między kolejnymi przekrojami. Wiemy już zatem, który z członów
równania Bernoulliego wymaga korekty, a sposób jej wprowadzenia najłatwiej będzie
uzasadnić analizując swobodny wypływ cieczy ze zbiornika, pokazany na rys. 7.2a.
1
p
2
hstr
1
1
1
1
H
H
ciepło
d
2
U
2
U'
2
l
2
Rys.7.2. Swobodny wypływ cieczy ze zbiornika a) oraz ilustracja wysokości traconej
wskutek lepkości płynu b).
1− ) w energię kinetyczną cieczy wypływającej z prędkością U z otworu, gdzie
ulokowano przekrój kontrolny
2 − .
Jeżeli rozpatrywać będziemy przepływ cieczy nielepkiej, wówczas prędkość wypływu będzie
równa prędkości swobodnego spadku w próżni, tzn.:
H
2
U = (7.2)
a jeżeli uwzględnimy lepkość, wówczas tarcie w płynie przemieszczającym się w zbiorniku
spowoduje, że prędkość wypływu będzie mniejsza i dana wzorem:
H
2
g
U
=
α
⋅
2
g
(7.3)
≤α jest tzw. współczynnikiem prędkości. Jeżeli do zbiornika (rys. 7.2b)
dołączymy rurę o średnicy d identycznej ze średnicą otworu, wówczas siły tarcia spowodują
na długości l rurociągu stratę ciśnienia ∆ , na pokonanie której będzie musiała być zużyta
część energii potencjalnej położenia. Prędkość wypływu będzie wówczas mniejsza i aby
osiągnąć z powrotem prędkość teoretyczną daną wz. (7.2) koniecznym będzie zwiększenie
wysokości napełnienia zbiornika o
st
h , która zużyta zostanie zarówno na pokonanie sił tarcia
płynu w zbiorniku jak i oporu tarcia powstającego przy przepływie przez rurę. Jeżeli
równanie Bernoulliego wyrazimy w postaci (6.5), wówczas dla zachowania równości energii
1
115
Mamy tu przemianę energii potencjalnej położenia cieczy znajdującej się na wysokości H
(przekrój 1
gdzie
występującej po obydwu stronach równania koniecznym będzie zwiększenie prawej strony o
wysokość strat, odpowiadającą energii traconej wskutek lepkości. Równanie Bernoulliego dla
przepływu między przekrojem 1
1− przechodzącym przez swobodną powierzchnię i
przekrojem
2 − na wylocie z rury (patrz rys. 7.2b), przyjmie wówczas postać:
U
2
1
+
p
1
+
z
=
U
2
2
+
p
2
+
z
+
h
(7.4)
2
ρ
⋅
g
1
2
ρ
⋅
g
2
str
znaną jako równanie zachowania energii dla płynu lepkiego. Poprawka ujmująca lepką
dysypację energii została wprowadzona w sposób arbitralny i dlatego też jej wartość nie może
być wyprowadzona analitycznie lecz musi być określona doświadczalnie.
7.2. Straty wywołane tarciem płynu
Na rys. 7.1 pokazano, że w trakcie przepływu płynu lepkiego dysypacja energii
spowodowana tarciem zachodzi zarówno wewnątrz przepływu (tarcie wewnętrzne w płynie)
jak i na ścianie, gdzie płyn pokonywać musi siły tarcia płynu o materiał rurociągu. Profil
prędkości przepływu turbulentnego dany potęgowym prawem Prandtla (wz. (3.50)) oraz
paraboliczny profil prędkości przepływu laminarnego dany wz. (3.38) wskazują, że
największy gradient prędkości w obydwu rodzajach przepływu występuje w pobliżu ściany.
Prawo tarcia Newtona sugeruje zatem, że największe wartości naprężeń stycznych
występować będą na ścianie kanału co oznacza z kolei, że nie tarcie wewnętrzne w płynie
lecz siły tarcia płynu o ścianę rurociągu są głównym źródłem oporu przy przepływie cieczy
rzeczywistej przez kanały. Najpowszechniej stosowanym kształtem przekroju poprzecznego
jest przekrój kołowy i dlatego też
wszystkie zależności podane w tym rozdziale będą dotyczyć
przepływów przez rurociągi o kołowym przekroju poprzecznym
. Doświadczenie wykazało, że
opór określony wysokością strat (patrz rys. 7.2b) rośnie wraz z długością rurociągu i maleje
przy zwiększaniu średnicy rury i zależy od szorstkości materiału ściany rurociągu. Większość
przepływów występujących w technice to przepływy turbulentne dla których straty
proporcjonalne są do kwadratu prędkości i dlatego też dla
strat spowodowanych tarciem
płynu o ściany rurociągu zaproponowano następujący wzór empiryczny:
l
U
2
h
=
λ
⋅
⋅
(7.5)
str
d
2
w którym:
l - długość rurociągu
d - średnica rurociągu
U - średnia prędkość przepływu przez rurociąg
g - przyspieszenie ziemskie
λ - współczynnik tarcia płynu o ścianę rurociągu.
Łatwo sprawdzić, że dla zachowania spójności wymiarowej tego równania λ winno być
bezwymiarowe, a ponieważ dla przepływu laminarnego znane jest rozwiązanie Hagen-
Poiseuille’a, stąd możliwe było określenie wartości współczynnika λ na drodze analitycznej.
Jeżeli przekształcimy wz. (3.40) do postaci:
∆
p
=
128
µ
Q
⋅
l
π
d
4
i podstawimy wyrażenie na prędkość średnią:
U
π
=
Q
d
2
4
oraz stratę ciśnienia:
∆
p
=
h
str
⋅
ρ
⋅
g
otrzymamy następujące wyrażenie na wysokość strat:
116
2
h
str
=
32
ν
⋅
l
U
d
d
g
Jeżeli przekształcimy ten związek w taki sposób, aby był on zgodny ze wz. (7.5) będziemy
mogli zapisać:
64
l
U
2
h
=
⋅
(7.6)
str
Re
d
2
skąd wynika, iż współczynnik tarcia płynu o ściany rurociągu dla przepływu laminarnego
wynosi:
λ
=
64
(7.7)
Re
Uzyskanie analogicznego rozwiązania dla przepływu turbulentnego nie jest możliwe i stąd też
dla tego przypadku konieczne jest stosowanie wzorów empirycznych, w których wartość
współczynnika λ musi być określana doświadczalnie. Badania zmienności współczynnika
strat tarcia λ wykonywano dla różnych długości, średnic i szorstkości rurociągów, zmieniając
prędkość przepływu w zakresie pokrywającym wszystkie możliwe w praktyce zastosowania,
próbując dopasować wartość współczynnika λ w taki sposób, aby uzyskać zgodność z
doświadczalnie określoną wartością wysokości strat. Problem ten był przedmiotem
systematycznych badań, które przez wiele lat nie dawały wystarczająco dokładnego
rozwiązania. Współczynnik strat λ zmienia się bowiem wraz z prędkością przepływu,
kształtem i wysokością nierówności, ich ilością przypadającą na jednostkę powierzchni oraz
sposobem ich zgrupowania. Po wielu latach prób zagadnienie to doczekało się dwóch
wystarczająco dokładnych rozwiązań znanych obecnie jako:
-
wykres Nikuradse
-
wzory empiryczne.
Rozwiązanie pierwsze uzyskał w latach 30. J. Nikuradse który stwierdził, że
rzeczywista chropowatość ścian kanału wykazuje tak dużą zmienność i zależy od tak wielu
czynników, że niemożliwe jest ich wiarygodne odtworzenie. Dlatego też w swoim
eksperymencie Nikuradse uzyskał równomierną szorstkość pokrywając powierzchnię rury
kalibrowanymi ziarnami piasku o różnych średnicach dobranych w taki sposób, aby dla
każdej z badanych rur możliwe było uzyskanie zmienności tzw.
współczynnika chropowatości
w zakresie:
r
/
s
=
5
÷
500
gdzie:
s - średnica ziaren piasku odpowiadająca wysokości chropowatości ścian rury
2
/
d =
lecz użyteczność ich wyników skłoniła wkrótce innych eksperymentatorów do wykonania
badań uzupełniających. Otrzymany w ten sposób wykres pokazany na rys. 7.3, przedstawia
zmienność współczynnika strat tarcia λ w funkcji liczby Reynoldsa, a parametrem tego
wykresu jest współczynnik chropowatości s
25
,
50
,
100
mm
/r .
Zebrane tu wyniki pomiarów potwierdzają po pierwsze, że dla przepływu laminarnego
prawdziwy jest związek (7.7) uzyskany z rozwiązania Hagen-Poiseuille’a a po drugie, że
wartość tego współczynnika nie zależy od szorstkości ścian. Po przekroczeniu I-szej
krytycznej wartości liczby Reynoldsa zauważyć można przejście przepływu w inny zakres i
pojawienie się związku między wartością współczynnika strat λ a chropowatością przewodu.
Linie przerywane zaznaczone w obszarze pośrednim pokazują przy tym jedynie sposób
przejścia między zakresami przepływu laminarnego i turbulentnego, gdyż samo przejście jest
przecież procesem utraty stabilności i zachodzi na tyle gwałtownie, że nie można tu mówić o
przepływie przejściowym.
117
r = - promień rury.
Badania Nikuradse przeprowadzone były dla trzech zaledwie średnic rur:
[ ]
d
turbulentny
Rys.7.3.
Wykres Nikuradse.
W obszarze przepływu turbulentnego dla rur tzw. technicznie gładkich wartości
współczynników λ układają się z dobrym przybliżeniem wokół zależności empirycznej
podanej przez Blasiusa:
λ
=
0
.
316
(7.8)
4
Re
Jeżeli wyliczymy wysokość strat dla rur gładkich korzystając ze wzoru Blasiusa, otrzymamy:
0
316
l
U
2
h
=
⋅
⋅
str
1
d
2

U
⋅
d

4


ν
skąd wynika, że straty przepływu dla rur gładkich nie są proporcjonalne do kwadratu
prędkości lecz do średniej prędkości przepływu w potędze:
4
h (7.9)
Można stąd wnioskować, że w ruchu turbulentnym w rurach gładkich występuje w pewnej
części przepływu proporcjonalność do pierwszej potęgi prędkości, charakterystyczna dla
ruchu laminarnego powodująca, że sumaryczny wykładnik w zal. (7.9) jest mniejszy niż
należałoby oczekiwać dla przepływu turbulentnego. Obecnie wiemy, że w przepływie
turbulentnym w bezpośredniej bliskości ściany występuje bardzo cienka warstwa płynu o
własnościach zbliżonych do przepływu laminarnego nazywana
subwarstwą laminarną
lub
bardziej poprawnie
subwarstwą lepką
.
Linia wyznaczona na wykresie Nikuradse przez równ. (7.8) pokrywa się z danymi
eksperymentalnymi do liczby Reynoldsa
~
U
7
/
str
Re ⋅
≈
8
10
4
/r (tzw. większych chropowatości względnych) krzywe
doświadczalne odchylają się od linii Blasiusa przy znacznie mniejszych wartościach Re.
Przyczyną jest zmniejszenie się grubości subwarstwy lepkiej przy wzroście liczby Re
powodujące, że nierówności powierzchni zaczynają „wynurzać” się z warstwy płynu
zdominowanej przez lepkość, czemu towarzyszy wzrost wartości współczynnika tarcia λ
przy dalszym zwiększaniu liczby Reynoldsa. Jeżeli wysokość nierówności powierzchni s jest
118
natomiast dla mniejszych wartości s
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl