Własnosci i wykresy funkcji

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Własno±ciiwykresyfunkcji.
mgrZofiaMakara
17listopada2003
1
Przypomnieniepodstawowychpoj¦¢
Definicja1(Funkcjaparzysta)
Fukcj¦f
:
X
!
Ynazywamyparzyst¡
je»elidlaka»degoargumentux
2
Xspełnionyjestwarunek:
f
(
−
x
)=
f
(
x
)
Definicja2(Funkcjanieparzysta)
Fukcj¦f
:
X
!
Ynazywamyniepa-
rzyst¡je»elidlaka»degoargumentux
2
Xspełnionyjestwarunek:
f
(
−
x
)=
−
f
(
x
)
Definicja3(Funkcjaró»nowarto±ciowa(jednoznaczna,iniekcja))
Niech
b¦dziedanafunkcjaf
:
X
!
Y,wówczasdlaka»dejparyargumentów
x
1
,x
2
2
Xspełnionyjestwarunek:
x
1
=
x
2
)
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
)
Uwaga1(dodefinicji3)
Je±lib¦dziedanafunkcjaf
:
X
!
Y,wówczas
ka»demuelementowizezbioruYjestprzyporz¡dkowanyconajwy»ejjeden
elementzbioruX.
Definicja4(Funkcja”na”(suriekcja))
Niechb¦dziedanafunkcjaf
:
X
!
Y,wówczasdlaka»degoelementuy
2
Yistniejex,taki,»ey
=
f
(
x
)
,
toznaczyY
=
f
(
X
)
.
Funkcj¦t¦zapisujesi¦wsposóbnast¦puj¡cy:
f
:
X
na
!
Y
Definicja5(Funkcjabijektywna)
Je»elidanafunkcjaf
:
X
!
Yjest
ró»nowarto±ciowai”na”,wówczasjestfunkcj¡bijektywn¡.
1
Definicja6(Funkcjarosn¡ca)
Niechb¦dziedanafunkcjaf
:
X
!
Y,
wówczasdlaka»dejparyargumentówx
1
,x
2
2
Xspełnionyjestwarunek:
x
1
<x
2
)
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
)
lub
x
1
>x
2
)
f
(
x
1
)
>f
(
x
2
)
Definicja7(Funkcjamalej¡ca)
Niechb¦dziedanafunkcjaf
:
X
!
Y,
wówczasdlaka»dejparyargumentówx
1
,x
2
2
Xspełnionyjestwarunek:
x
1
>x
2
)
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
)
lub
x
1
<x
2
)
f
(
x
1
)
>f
(
x
2
)
Definicja8(Funkcjastała)
Je»elijestdanafunkcjaf
:
X
!
Y,taka,
»eka»demuelementowix
2
Xprzyporz¡kowujet¦sam¡warto±¢c
2
Y,
wówczasfunkcj¦fnazywamystał¡.
Definicja9(Funkcjaodwrotna)
Funkcjag
:
Y
!
Xjestodwrotnado
f
:
X
!
Y,je»eliobiefunkcjes¡suriektywne(Y
=
f
(
X
)
orazX
=
g
(
Y
)
)i
dlaka»degox
2
Xspełnionyjestwarunek:
g
(
f
(
x
))=
x.
Funkcj¦odwrotn¡dofzapisujesi¦jakof
−
1
.
Uwaga2(dodefinicji9)
Wykresfunkcjif
−
1
jestsymetrycznydowykre-
sufunkcjif.
Definicja10(Superpozycjafunkcji(zło»eniefunkcji))
Niechb¦d¡da-
nefunkcjef
:
X
!
Yig
:
Y
!
Z.Dlaka»degox
2
Xistniejedokłdanie
jedenelementz
2
Z,taki,»ez
=
g
(
f
(
x
))
.Zatemfunkcjefigwyznaczaj¡
now¡funkcj¦h
:
X
!
Z,okre±lon¡wsposóbnast¦pujacy:
h
(
x
)=
g
(
f
(
x
))
dlaka»degox
2
X.
Zło»eniefunkcjizapisujemyjako:
(
g
f
)(
x
)=
g
(
f
(
x
))
dlaka»degox
2
X.
Twierdzenie1
Dladowolnychfunkcjif
:
X
!
Y,g
:
Y
!
Zih
:
Z
!
W
soełnionajestwłasno±¢:
h
(
g
f
)=(
h
g
)
f.
2
Twierdzenie2
Dlaka»dejfunkcjiró»nowarto±ciowejfprzekształcaj¡cejX
naY(f
:
X
na
!
Y)spełnionajestwłasno±¢:
f
−
1
f
=
I
X
i
f
f
−
1
=
I
Y
gdzieI
X
jestfunkcj¡identyczno±ciow¡nazbiorzeX,aI
Y
jestfunkcj¡iden-
tyczno±ciow¡nazbiorzeY.
Definicja11
Wykesemfunkcjif
:
X
!
Ynazywasi¦zbiórpar
(
x,f
(
x
))
,
gdziex
2
Xorazf
(
x
)
2
Y.
2
Zadania
Zadanie1
Sprawdzi¢,czypodanefunkcjefs¡parzysteinieparzyste:
•
sin
x;
•
cos
x;
•
sin
x;
•
tg
x;
•
ctg
x;
•
x;
•
x
+1
;
•
x
2
;
•
x
3
+3
x
−
2
;
•
x
4
+
x
2
+1
;
•
x
4
+
x;
•
2
x
;
•
|
x
|
;
1
1
(
x x>
0
0
x
=0
−
xx<
0
|
x
|
=
3
Zadanie2
Naszkicowa¢wykresyfunkcjiistwierdzi¢,czys¡tofunkcjebi-
jektywne:
•
x;
•
x
+1
;
•
x
2
;
•
x
2
−
5
x
+6
;
•
x
3
−
1
;
•
x
3
+1
;
•
2
x
+5
;
•
log
2
x
−
3
;
•
|
x
|
;
•
|
x
+2
|
;
•
|
x
−
1
3
|
;
•
|
x
|
+3
;
•
|
x
|−
3
;
•
|
x
|−
3
;
•
−|
x
|
+3
;
•
[
x
]
;
2
Zadanie3
Wyznaczfunkcjeodwrotnedofunkcji:
•
f
(
x
)=
x
+1
;
•
f
(
x
)=
p
x
+1
,x
2
R
+
;
•
f
(
x
)=2
x
−
12
;
•
f
(
x
)=2
x
;
•
f
(
x
)=3
x
−
2
;
•
f
(
x
)=log
5
x,x
2
R
+
;
•
f
(
x
)=2
−
log
11
x,x
2
R
+
;
2
[
x
]-warto±¢całkowita,niewi¦kszaod
x
4
Zadanie4
Wyznaczzło»eniefunkcjig
f,f
g,f
fig
g(orazdziedziny
wszystkichfunkcji):
•
f
(
x
)=
x
+1
,g
(
x
)=
p
x
+1
;
•
f
(
x
)=
x
−
1
,g
(
x
)=
x
2
+1
;
•
f
(
x
)=
x
2
+1
,g
(
x
)=
p
x
+1
;
•
f
(
x
)=2
x
−
12
,g
(
x
)=2
x
;
•
f
(
x
)=3
x
−
2
,g
(
x
)=2
x
−
12
;
•
f
(
x
)=log
5
x,g
(
x
)=2
−
log
11
x;
•
f
(
x
)=log
5
x,g
(
x
)=5
x
2
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl