W 3

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Komentarz [I.E1]:
Wykład 1
1. Fizyczny sens przestrzeni i czasu.
2. Układy odniesienia, wektorowy zapis wielko
ci fizycznych.
3. Kinematyka ruchu post
powego i obrotowego.
4. Dynamika ruchu post
powego i obrotowego, siły rzeczywiste i pozorne.
5. Wzgl
dno
wielko
ci fizycznych ( Teorie Galileusza i Einsteina).
Pole fizyczne to przestrzenny rozkład wielko
ci fizycznych b
d
cych funkcjami
współrz
dnych przestrzennych i czasu
. Z geometrycznego punktu widzenia, pola maj
charakter
skalarny
lub
wektorowy
(np. pole temperaturowe nierównomiernie ogrzanego o
rodka
T(
)
C
,
t
i pole pr
dko
ci
V
C
C
(
t
,
)
).
Zadajemy pewn
funkcj
pola jako funkcj
poło
enia.
( )
=
u
r
,
C
- wektor poło
enia –
jest to pole skalarne
C
w
C
( )
C
, -
jest to pole wektorowe
Polem płaskim, nazywamy pole skalarne okre
lone tylko dla punktów płaszczyzny, funkcja pola jest
funkcj
dwóch zmiennych, np. u = u (x, y).
Pole wektorowe, nazywamy płaskim, gdy wszystkie wektory le
w jednej płaszczy
nie.
Je
eli warto
pola skalarnego zale
y tylko od odległo
ci r od stałego punktu, zwanego centrum to
pole takie nazywamy centralnym – opisuje go funkcja
u
=
f
(
r
)
.
Pole wektorowe, nazywamy centralnym, gdy warto
wektora pola jest funkcj
wektora poło
enia
o kierunku pokrywaj
cym si
z kierunkiem prostej, przechodz
cej przez punkt zwany centrum.
Mo
na to zapisa
nast
puj
co:
C
=
f
(
r
)
C
0
, je
eli
f
(
Ï
)
0
, to pole jest od
rodkowym, natomiast dla
f
(
¿
)
0
- pole jest do
rodkowym.
Izopowierzchni
– nazywa
b
dziemy powierzchni
stałych warto
ci funkcji pola
skalarnego
u
=
const
wektorowego
C
,
C
=
const
Linie pola wektorowego
¼
linia wskazuj
ca kierunek pola. W ka
dym punkcie linii pola,
wektor
( )
C
w jest do niej styczny. Ró
niczka linii pola ma kierunek pola
r
C
d
C
||
C
.
Je
eli linie pola s
do siebie równoległe, to pole takie nazywamy jednorodnym.
r
u
C
w=
w
r
r
r
2
Zmiany pola od punktu do punktu charakteryzuj
pochodne cz
stkowe funkcji pola po
współrz
dnych. W analizie tych pól podstawowymi poj
ciami s
: gradient, dywergencja i rotacja.
Operator wektorowy Hamiltona (nabla)
w układzie prostok
tnym, zdefiniowany jest
%
Ä
¶
¶
¶
Ô
r
¶
C
¶
C
¶
C
¶
nast
puj
co:
Ñ
=
Å
Æ
,
,
Õ
Ö
º
=
i
+
j
+
k
¶
x
¶
y
¶
z
r
¶
r
¶
x
¶
y
¶
z
Jest to wektor symboliczny zast
puj
cy symbole grad, div, rot:
%
%
C
C
%
C
C
U
º
grad
U
,
Ñ
A
º
div
A
,
Ñ
´
A
º
rot
A
W matematyce operatorem nazywamy reguł
, według której jednej funkcji przyporz
dkowujemy
inn
funkcj
. W szczególno
ci operator ró
niczkowania, zgodnie z jego definicj
przyporz
dkowuje
danej funkcji jej pochodn
. Operator wektorowy mo
e działa
na pole skalarne i wektorowe.
Gradient skalara f ( funkcja pola): (wskazuje na kierunek zmian pola i okre
la szybko
jego
C
¶
f
r
zmian)
Zapisujemy to nast
puj
co:
grad
f
(
r
)
º
.
¶
r
r
w układzie prostok
tnym
Ñ
%
f
=
gra
d
G
f
º
i
C
¶
f
+
C
¶
f
+
k
¶
f
;
¶
x
¶
y
¶
z
w układzie cylindrycznym
gra
d
C
f
=
e
×
¶
f
+
e
C
×
1
¶
f
+
e
×
¶
f
r
¶
j
r
¶
j
z
¶
w układzie sferycznym
gra
d
f
=
e
×
¶
f
+
e
×
1
¶
f
+
e
×
1
¶
f
r
¶
r
j
r
sin
J
¶
J
r
¶
W wyniku tej operacji otrzymujemy pole wektorowe zwane gradientem pola skalarnego
(
f
C
.
)
Np. gradient funkcjii a) f(x,y,z)=A(x
3
+y
2
+z
3
)
Ñ
f
=
gra
d
f
º
C
¶
f
+
C
¶
f
+
k
¶
f
obliczmy składowe wektora grad f
¶
x
¶
y
¶
z
¶
f
=
3
Ax
2
¶
f
¶
f
=
3
Az
2
Wi
c
2
C
C
2
C
=
2
Ay
gradf
=
3
Ax
i
+
2
Ay
j
+
3
Az
k
¶
x
¶
y
¶
z
b) f(x,y,z)=A(x
3
+y
2
+z
2
)
-1/2
¶
f
-
3
Ax
2
¶
f
-
Ay
¶
f
-
Az
=
;
=
;
=
¶
x
[
]
2
3
¶
y
[
]
2
3
¶
z
[
]
2
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
x
+
y
+
z
x
+
y
+
z
x
+
y
+
z
3
Ax
2
C
Ay
C
Az
C
grad
f
=
-
i
-
j
-
k
[
]
3
[
]
3
[
]
3
2
x
3
+
y
2
+
z
2
x
3
+
y
2
+
z
2
x
3
+
y
2
+
z
2
2
2
2
Dywergencja w układzie prostok
tnym (pokazuje
ródłowo
pola)
:
Ñ
×
A
=
¶
A
x
+
¶
A
y
+
¶
A
z
=
div
A
¶
x
¶
y
¶
z
C
C
j
C
C
C
C
C
C
C
%
G
i
j
C
%
C
C
3
w układzie cylindrycznym
div
A
C
=
1
×
¶
( )
r
A
+
1
×
¶
A
j
+
¶
A
z
r
¶
j
r
¶
¶
z
w układzie sferycznym
div
A
C
=
1
×
¶
( )
r
2
A
+
1
×
¶
A
j
+
1
¶
(
sin
J
×
A
)
r
2
¶
r
r
r
×
sin
J
¶
r
×
sin
J
¶
J
Iloczyn skalarny nabli i pola wektorowego
C
daje pole skalarne, zwane dywergencj
(rozbie
no
ci
) pola wektorowego
C
.
%
C
¶
A
C
C
Ñ
×
A
=
C
=
div
A
¶
r
np. wyznacz dyw. wektora A, którego współrz
dne s
nast. funkcjami współrz
dnych punktu
zaczepienia wektora: a)
A =
C
(
xy
,
xyz
,
z
)
b)
A
=
(
x
2
+
y
2
,
x
3
+
z
2
,
z
3
)
2
y
a) Dywergencj
wektora
[
A
C
=
A
(
x
,
y
z
),
A
(
x
,
y
z
),
A
(
x
,
y
z
)
]
nazywamy skalar
x
y
z
%
C
Ç
¶
C
¶
C
¶
C
×
[
C
C
C
]
¶
A
x
¶
A
y
¶
A
z
C
¶
A
x
Ñ
×
A
=
i
+
j
+
k
A
i
+
A
j
+
A
k
=
+
+
=
div
A
=
y
É
Ù
¶
x
¶
y
¶
z
x
y
z
¶
x
¶
y
¶
z
¶
x
¶
A
y
=
xz
¶
A
z
=
1
wi
c
div
A
C
=
y
+
xz
+
1
¶
y
¶
z
y
y
b)
¶
A
x
=
2
x
;
¶
A
y
=
0
;
¶
A
z
=
3
z
to
div
A
C
=
2
x
+
3
z
¶
x
¶
y
¶
z
2
2
Wirowo
pola wektorowego
C
w układzie prostok
tnym (rotacja
):
i
C
j
k
C
C
( )
C
( )
C
( )
C
( )
C
( )
C
( )
C
C
%
C
¶
¶
¶
Ç
¶
A
r
¶
A
r
¶
A
r
¶
A
r
¶
A
r
¶
A
r
×
( )
Ñ
´
A
r
=
=
É
z
-
y
;
x
-
z
;
y
-
x
Ù
=
rot
A
¶
x
¶
y
¶
z
¶
y
¶
z
¶
z
¶
x
¶
x
¶
y
A
A
A
x
y
z
Iloczyn wektorowy nabli i pola wektorowego
C
- daje pole wektorowe nazywane, rotacj
pola
wektorowego
C
. Je
eli dywergencja pola wektorowego
(
div =
C
0
)
to pole takie nazywa si
bez
ródłowym. Je
eli
rot =
C
0
¼
to pole takie nazywamy bezwirowym.
Gradient – reprezentuje szybko
zmian pola skalarnego
l
(2)
D
f
dl
(1)
Po scałkowaniu otrzymujemy całkowit
zmian
pola.
Całka krzywoliniowa z iloczynu skalarnego elementu drogi (po krzywej
L
) i gradientu pola
skalarnego
f
, ma posta
:
C
C
4
(
2
)
%
fd
C
Ð
Ñ
l
=
f
(
2
-
f
(
(
Ð
d
A
C
×
f
(
r
)
C
%
C
gra
d
f
(
r
)
º
Ñ
f
º
lim
S
1
Ð
dV
d
®
0
V
1
gdzie
V
- obszar, do którego nale
y punkt )
(
C
, ograniczony powierzchni
zamkni
t
S
.
Np. wyznacz rotacj
wektora
A
C
=
(
xy
+
zy
,
x
2
+
z
2
+
y
y
+
x
2
)
Rotacj
wektora
[
A
C
=
A
(
x
,
y
,
z
),
A
(
x
,
y
,
z
),
A
(
x
,
y
z
)
]
jest
x
y
z
C
C
C
C
C
C
i
j
k
i
j
k
C
C
%
¶
¶
¶
¶
¶
¶
rot
A
=
Ñ
´
A
=
=
=
¶
x
¶
y
¶
z
¶
x
¶
y
¶
z
A
x
A
y
A
z
xy
+
zy
xz
+
z
2
+
y
y
+
x
2
C
Ç
¶
2
¶
2
×
C
Ç
¶
¶
2
×
=
i
É
(
y
+
x
)
-
(
xz
+
z
+
y
)
Ù
+
j
É
(
xy
+
zy
)
-
(
y
+
x
)
Ù
+
¶
y
¶
z
¶
z
¶
x
+
k
Ç
¶
(
xz
+
z
2
+
y
)
-
¶
(
xy
+
zy
)
×
=
[
1
-
x
-
2
z
] [
C
+
y
-
2
x
]
C
-
x
k
É
Ù
¶
x
¶
y
Dywergencja - twierdzenie Gaussa – Ostrogradskiego
Ð
A
C
×
d
C
=
Ð
div
A
C
×
dV
S
V
Wyra
enie
Ð
×
S
A
d
C
stanowi strumie
wektora
C
przez powierzchni
S
(wybieramy dodatni
stron
powierzchni
S
).
Całka obj
to
ciowa z dywergencji pola wektorowego jest równa strumieniowi tego pola
przenikaj
cemu przez powierzchni
zamkni
t
ograniczaj
c
dan
obj
to
, przy zało
eniu,
e
normalne do powierzchni elementarnych s
skierowane na zewn
trz tej obj
to
ci.
Rotacja – twierdzenie Stokesa
1
C
i
j
C
C
5
L
dL
S
Ð
A
×
d
C
=
Ð
rot
A
×
d
C
L
S
Wyra
enie
Ð
×
L
A
d
C
stanowi kr
enie (cyrkulacj
) pola
C
po krzywej L.
Ð
rot
C
×
d
C
- stanowi strumie
rotacji pola wektorowego
S
Strumie
rotacji pola wektorowego przez dowoln
powierzchni
jest równy cyrkulacji tego pola
wzdłu
konturu ograniczaj
cego dan
powierzchni
, je
eli tylko orientacje powierzchni i konturu
L
L
+
s
zgodne.
kr
. = 0, bo ^
d
C
do pol kr
. 0
¹ , bo
S
d
C
jest styczny w ka
dym punkcie drogi L
C
C
C
A
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl