W04 przyklady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Interpolacja-przykłady
•
Przykład1.
Niechbędądanewęzły
x
i
=
i
1,
i
=0
;
1
;
2,iwartościfunkcji
f
0
=1,
f
1
=0,i
f
2
=1.ZnaleźćwielomianinterpolacyjnywpostaciLagrange’adlafunkcji
f
.
−
Rozwiązanie:
Węzłamisąpunkty
x
0
=
−
1,
x
1
=0i
x
2
=1.
Natrzechróżnychpunktachmożnaskonstruowaćwielomianinterpolacyjnydrugiego
stopnia.JegopostaćLagrange’ajestnastępująca:
∑
2
p
2
(
x
)=
f
i
l
i
(
x
)
;
(1)
i
=0
gdzie
∏
2
x−x
j
l
i
(
x
)=
x
i
−x
j
:
j
=0
j̸
=
i
Wyznaczmywielomiany
l
i
(
x
).Dla
i
=0mamy
∏
2
x
−
x
j
x
j
=
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
x
2
)
=
x
(
x
−
1)
2)
=
1
l
0
(
x
)=
2
x
(
x
−
1)
:
x
0
−
(
x
0
−
x
1
)(
x
0
−
−
1
·
(
−
j
=1
Dla
i
=1:
∏
2
x
−
x
j
x
j
=
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
2
)
x
2
)
=
(
x
+1)(
x
−
1)
l
1
(
x
)=
1
=
−
(
x
+1)(
x
−
1)
;
x
0
−
(
x
1
−
x
0
)(
x
1
−
−
j
=0
j̸
=1
idla
i
=2:
∏
1
x
−
x
j
x
j
=
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
x
0
)
=
x
(
x
+1)
2
=
1
l
2
(
x
)=
2
x
(
x
+1)
:
x
0
−
(
x
2
−
x
0
)(
x
2
−
j
=0
Wstawiamywyznaczonewielomianybazowe
l
i
(
x
)(
i
=0
;
1
;
2)dowzoru(1)iotrzy-
mujemy
1
2
x
(
x
1
2
x
(
x
+1)=
x
2
:
p
2
(
x
)=1
·
−
1)+1
·
Uwaga.Ponieważ
f
1
=0,niebyłopotrzebywyznaczania
l
1
(
x
).
 2
•
Przykład2.
Dlafunkcji
f
(
x
)=
x
4
znaleźćwielomianinterpolacyjny
p
3
(
x
)wpostaciNewtona
taki,że
p
3
(
k
)=
f
(
k
),
k
=0
;
1
;
2
;
3.
Rozwiązanie:
Węzłamiinterpolacjisąpunkty:
x
0
=0,
x
1
=1,
x
2
=2i
x
3
=3.
WielomianinterpolacyjnywpostaciNewtonaskonstruowanynaczterechwęzłach
jestnastępujący:
p
3
(
x
)=
c
0
+
c
1
(
x−x
0
)+
c
2
(
x−x
0
)(
x−x
1
)+
c
3
(
x−x
0
)(
x−x
1
)(
x−x
2
)
;
(2)
gdzie
c
0
=
f
(
x
0
)
;
c
1
=
f
0
;
1
=
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
x
0
;
−
c
2
=
f
0
;
1
;
2
=
f
1
;
2
−
f
0
;
1
x
0
;
c
n
=
f
0
;
1
;
2
;
3
=
f
1
;
2
;
3
−
x
2
−
f
0
;
1
;
2
x
3
−x
0
:
Uwaga.Patrzącnawzór(2)możnaodnieśćwrażenie,żeskorowęzeł
x
3
wnimnie
wstępuje,niejestpotrzebnydozbudowaniawielomianu
p
3
(
x
).Tonieprawda:węzeł
x
3
jestwykorzystywanyprzywyznaczaniuwspółczynnika
c
3
.
Dlaczterechwęzłówschematilorazówróżnicowychmanastępującąpostać:
x
0
f
0
→
f
0
;
1
→
f
0
;
1
;
2
→
f
0
;
1
;
2
;
3
x
1
f
1
↗
→
f
1
;
2
↗
→
f
1
;
2
;
3
↗
x
2
f
2
↗
→
f
2
;
3
↗
x
3
f
3
↗
3
Popodstawieniuwartościliczbowychdostajemy:
1
−
0
15
−
1
25
−
7
0 0
→
1
−
0
=1
→
2
−
0
=7
→
3
−
0
=6
1 1
↗
→
2
−
1
=15
↗
→
3
−
1
=25
↗
16
−
1
65
−
15
2 16
↗
→
3
−
2
=65
↗
81
−
16
3 81
↗
Współczynniki
c
i
(
i
=0
;
1
;
2
;
3)odczytujemyztabeli:
c
0
=0,
c
1
=1,
c
2
=7,
c
3
=6.
WielomianinterpolacyjnywpostaciNewtonajestzatemnastępujący:
p
3
(
x
)=0+1(
x−
0)+7(
x−
0)(
x−
1)+6(
x−
0)(
x−
1)(
x−
2)
:
Pouproszczeniu(zmianiebazyz
{
1
;x
−
x
0
;
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
;
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
}
1
;x;x
2
;x
3
na
{
}
)dostajemy:
p
3
(
x
)=12
x−
11
x
2
+6
x
3
:
Uwaga.WpraktyceniezalecasięzmianybazyNewtonananaturalną.BazaNew-
tonamalepszewłasnościnumeryczne,aponadtołatwojestzmodyfikowaćalgorytm
Horneratak,abymożnanimbyłoobliczaćwartościwielomianuinterpolacyjnegow
postaciNewtona.
•Zadanie.
Dlafunkcji
f
(
x
)=
2
1+
x
2
znaleźćwielomianinterpolacyjnywpostaciNewtonaoparty
nawęzłach
x
0
=
1,
x
1
=0,
x
2
=1.Następniekorzystajączwykonanychobliczeń
znaleźćwielomianinterpolacyjnyopartynawęzłach
x
0
,
x
1
,
x
2
oraz
x
3
=2.
−
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl