W2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład2.Przegl¡dfunkcjielementarnych
1 Definicja
Funkcj¦
f:R!R
+
(
x; je±li x 0;
x je±li x <0
x 7!
nazywamywarto±ci¡bezwzgl¦dn¡.
2
T
WIERDZENIE
Zachodzi:
1. jxj=jxj,
2. jxyj=jxjjyj,
3. jx+yjjxj+jyj.
3 Przykład
1. j2(3)j=j6j=6=23=j2jj3j,
2. j23j=j1j=15=2+3=j2j+j3j,
3. j23j=j5j=5=2+3=j2j+j3j,
4.
x+y
2
2
jx+yj
jxj+jyj
2
, a zatem warto±¢ bezwzgl¦dna jest funkcj¡ wypukł¡.
4 Definicja
Wielomianemstopnia n 2N
0
nazywamy funkcj¦ p
n
:R!Rdan¡ wzorem
p
n
(x)=a
n
x
n
+a
n1
x
n1
++a
1
x+a
0
;
gdzie a
j
s¡ liczbami rzeczywistymi oraz a
n
6=0. Liczby a
j
nazywamywspółczynnikamiwielomi-
anup
n
.
5 Definicja
Iloraz dwóch wielomianów nazywamyfunkcj¡wymiern¡. Jego dziedzin¡ jest zbiór tych
liczb rzeczywistych, dla których mianownik jest ró»ny od zera.
6 Przykład
1. x 7!
x1
x+1
, x 2Rnf1g,
x
2
+1
, x 2R,
3. x 7!
x1
x
2
1
, x 2Rnf1;1g,
4. x 7!
1
x+1
, x 2Rnf1g
s¡ funkcjami wymiernymi.
Ka»dy wielomian jest funkcj¡ wymiern¡, poniewa» daje si¦ zapisa¢ w postaci
p(x)
1
.
=
1
2. x 7!
x1
2
7 Definicja
Niech a b¦dzie dowoln¡ stał¡. Funkcj¦
x 7! x
a
;
zdefiniowan¡ na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, nazywamyfunkcj¡pot¦gow¡.
8 Przykład
x 7! x
2
3
=
1
p
2
=e
p
2lnx
3
p
x
2
; x 7! x
Funkcja pot¦gowa jest monotonicznie rosn¡ca dla a >0, stała dla a=0i monotonicznie
malej¡ca dla a <0. Jest wypukła dla a 0oraz dla a 1, wkl¡sła dla a 2[0;1]. W ka»dym z
tych wypadków warto±¢ funkcji w jedynce wynosi jeden (1
a
=1).
+
Zachodz¡ nastp˛uj¡ce zale»no±ci:
(ab)
x
=a
x
b
x
;
a
b
x
=
a
x
b
x
;
a
x+y
=a
x
a
y
;
a
xy
=
a
x
a
y
;
a
xy
=(a
x
)
y
:
Po podstawieniu x=0do czwartego wzoru wynika st¡d:
a
y
=a
y
:
9 Przykład
[(a
1=2
+b
1=2
)(a
1=2
+5b
1=2
)(a
1=2
+2b
1=2
)(a
1=2
2b
1=2
)]:
2a+3
p
ab
p
p
ab+9b
2a+3
=[a+6a
1=2
b
1=2
+5b(a4b)]:
2a+3
ab
p
ab
p
b(2
p
a+3
p
r
b
a
=
3
b)
p
a(2
p
a+3
p
b)
=3
10 Przykład
Funkcj¦ pot¦gow¡ mo»na przedstawi¢ jako zło»enie funkcji wykładniczej i logarytmu:
x
a
=(e
lnx
)
a
=e
alnx
:
11 Definicja
Niech a b¦dzie stał¡ wi¦ksz¡ od0. Funkcj¦
f:R!R
+
;
x 7! a
x
;
natywamyfunkcj¡wykładnicz¡.
=
6
3
Je±li a >1, funkcja jest monotonicznie rosn¡ca, jes¨i a <0, to jest ona monotonicznie malej¡ca.
W obu przypadkach zachodzi f(0)=1.
+
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja x 7! e
x
, gdzie e 2;7182818
jest podstaw¡ logarytmu naturalnego. Funkcj¦ t¦ oznaczamy równie» jako x 7!exp(x).
12 Definicja
Liczbae jest granic¡ ci¡gu
1+
1
n
n
przy n !1 i wynosi około2;7182818. Stanowi ona podstaw¦logartymunaturalnego.
Odpowiada to warto±ci kapitału po roku oszcz¦dzania w przypadku oprocentowania składanego
przy warto±ci wkładu równej1, oprocentowaniu rocznym100% i naliczaniu odsetek w sposób ci¡gły.
13
T
WIERDZENIE
Zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢:
1+
r
n
n
lim
n!1
=e
r
:
Oznacza to, »e e
r
jest warto±ci¡ kapitału po roku oszcz¦dzania w przypadku oprocentowania
składanego przy warto±ci wkładu równej1, oprocentowaniu rocznym r i naliczaniu odsetek w sposób
ci¡gły.
14 Definicja
ALogarytmopodstawiea 2(0;1)[(1;1)to funkcja ze zbioruR
+
naR, która ka»dej
liczbie x przyporz¡dkowuje y takie, »e
a
y
=x:
Zapisujemy to jako
log
a
x=y:
15 Przykład
log
3
27=3 poniewa» 3
3
=27;
log
2
1=0 poniewa» 2
0
=1;
log
4
1
4
;
log
4
97=
1
2
poniewa» 49
1
2
=7:
Logarytm jest monotonicznie rosn¡cy i wkl¦sły, jes±li a >1, oraz monotonicznie malej¡cy
i wypukły, je±li a <1. W obu przypadkach (zauwa»,»e a 6=1z definicji) mamylog1=0.
Bezpo±rednio z definicji wynika
a
log
a
x
=x:
16
T
WIERDZENIE
Zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci:
4
=1 poniewa» 4
1
=
1
4
1.log
a
(xy)=log
a
x+log
a
y,
2.log
a
(x=y)=log
a
xlog
a
y,
3.log
a
(x
n
)=nlog
a
x,
4.log
a
b=
1
log
b
a
if b 6=1,
5.log
a
blog
b
c=log
a
c.
17 Przykład
Dowoód wzorulog
a
(xy)=log
a
x+log
a
y: Oznaczmylog
a
x przez X, alog
a
y
przez Y , wówczas:
a
log
a
x+log
a
y
=a
X+Y
=a
X
a
Y
=a
log
a
x
a
log
a
y
=xy;
a zatem
log
a
x+log
a
y=log
a
(xy):
18 Przykład
log
2
12=log
2
(2
2
3)=log
2
2
2
+log
2
3=2+log
2
3;
log
7
p
7
7=
1
log
7
7
p
7
=
1
log
7
(77
1=2
)
=
1
log
7
(7
1+1=2
)
=
1
log
7
7
3=2
=
1
3=2
=
2
3
:
19 Definicja
Logarytmnaturalnyto logarytm o podstawie a, oznaczany symbolemln.Logarytm
dziesi¦tnyto logarytm o podstawie10, oznaczany symbolemlog.
20 Przykład
lnx=ln10logx 2;302585093logx
logx=logelnx 0;434294482lnx
21 Definicja
Je»eli płaski k¡t skierowany ustawi si¦ tak, »e jego wierzchołek znajduje si¦ w pocz¡tku
prostok¡tnego układu współrz¦dnych O, pierwsze rami¦ k¡ta pokrywa si¦ z pierwsz¡ dodatni¡
półosi¡ układu, a jego drugie rami¦ jest dowoln¡ półprost¡ le»¡c¡ w płaszczy¹nie układu, wychodz¡c¡
z punktu O oraz zawieraj¡c¡ pewien punkt M=(x;y), którego odległo±¢ od O wynosi1, to
funkcjetrygonometrycznek¡ta skierowanego b¦d¡ okre±lone wzorami:
sin=y (sinuns);
cos=x (cosinuns);
tg=
y
x
dla 6=
2
+k; k 2Z (tangens);
ctg=
x
y
dla 6=+k; k 2Z (cotangens);
sec=
1
y
dla 6=
2
+k; k 2Z (secans);
cosec=
1
x
dla 6=+k; k 2Z (cosecans):
5
22 Definicja
Funkcjecyklometryczne(kołowe)to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych
ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedzi-
ałach s¡ ró»nowarto±ciowe i maj¡ funkcje odwrotne.
1.arcussinusarcsinjest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale[=2;=2].
W przedziale tym sinus jest funkcj¡ rosn¡c¡ (zatem ró»nowarto±ciow¡) – wobec czego ma
funkcj¦ odwrotn¡, która jest okre±lona na przedziale[1;1](czyli obrazie przedziału[
2
;
wzgl¦dem funkcjisin).
2.arcuscosinusarccosjest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale
[0;]. W przedziale tym cosinus jest funkcj¡ malej¡c¡ (zatem ró»nowarto±ciow¡) – wobec
czego ma funkcj¦ odwrotn¡, która jest okre±lona na przedziale[1;1](czyli obrazie przedziału
[0;]wzgl¦dem funkcjicos).
3.arcustangensarctgjest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale
(=2;=2). W przedziale tym tangens jest funkcj¡ rosn¡c¡ (zatem ró»nowarto±ciow¡) –
wobec czego ma funkcj¦ odwrotn¡, która jest okre±lona na przedziale(1;+1)(czyli
obrazie przedziału(=2;=2)wzgl¦dem funkcjitg).
4.arcuscotangensarcctgjest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale
(0;). W przedziale tym cotangens jest funkcj¡ malej¡c¡ (zatem ró»nowarto±ciow¡), wobec
czego ma funkcj¦ odwrotn¡, która jest okre±lona na przedziale(1;+1)(czyli obrazie
przedziału(0;)wzgl¦dem funkcjictg).
23 Definicja
Dofunkcjihiperbolicznychzalicza si¦ nast¦puj¡ce funkcje:
2
,
2.cosinushiperbolicznycosh=
e
x
+e
x
2
,
3.tangenshiperbolicznytgh=
sinhx
coshx
,
4.cotangenshiperbolicznyctgh=
coshx
sinhx
,
5.secanshiperbolicznysech=
2
e
x
+e
x
,
6.cosecanshiperbolicznycosech=
2
e
x
e
x
.
2
]
1.sinushiperbolicznysinh=
e
x
e
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl