wł funkcji, PŁ-Ochrona środowiska, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->1. PotęgaDefinicjaNiecha∈Ri niechn∈N.Wyrażeniean=a·a·...·an-czynnikównazywamyn-tąpotęgą liczbya.WłasnościNiecha, b∈Rorazm, n∈N.Wówczas prawdziwe są następujące własności:1.a= 1,a= 0,2.am·an=am+n,3.aman=am−ndlaa= 0,4.(am)n=am·n,5.(a·b)n=an·bn,6.a nb=anbndlab= 0dlaa= 0,7.a−n=8.an=m1an√namdlan= 0ia≥0.12. Funkcja wykładniczaKażdą funkcję określoną wzoremf(x) =ax, gdziex∈Roraza∈(0, 1)∪(1,∞)nazywamyfunkcją wykładniczą.Wykresy funkcji wykładniczejWłasności Funkcji wykładniczejf(x) =axdlaa∈(0, 1)∪(1,∞)1. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistychR.2. Funkcja wykładniczaf(x) =axdlaa∈(0, 1)∪(1,∞)nie ma miejsc zerowych i jestdodatnia, tzn. dla dowolnegox∈R,ax>0.3. Funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą.4. Funkcja wykładnicza jest funkcjąróżnowartościowątzn. jeżelia∈(0, 1)∪(1,∞),todla dowolnychx1, x2∈R,ax1=ax2⇔x1=x2.5. Funkcja wykładnicza jest funkcją monotoniczną:5.1. Jeżelia∈(1,∞),to funkcjaf(x) =axjestfunkcją rosnącą,tzn. że dla dowolnychx1, x2∈Rax1< ax2⇔x1< x2,5.2. Jeżelia∈(0, 1),to funkcjaf(x) =axjestfunkcją malejącą,tzn. że dla dowolnychx1, x2∈Rax1< ax26. Funkcjef(x) =axorazg(x)=1xa⇔x1> x2,są symetryczne względem osiOY.23. LogarytmNiecha, b >oraza= 1.Liczbęc= logabnazywamylogarytmem przy podstawieazliczbyb,jeśliac=b(b nazywamy liczbą logarytmowaną).W matematyce bardzo ważną rolę odgrywa logarytm, którego podstawą jest liczbae.Liczbae≈2, 71828.Logarytmlogebnazywamylogarytmem naturalnymz liczbybi zapisujemykrótkolnb.Logarytmlog10bnazywamylogarytmem dziesiętnym(bo podstawa jest równa10)i w zapisie opuszczamy podstawę, czyli zapisujemy go jakologb.WłasnościJeżelia, b, c >0,a= 1,r∈R,to:1.loga1 = 0,2.logaa= 1,3.logaar=r4.loga(bc) = logab+ logac,b5.loga c= logab−logac6.logab=logcblogcadlac= 1,7.logabr=rlogab.34. Funkcja logarytmicznaKażdą funkcję określoną wzoremf(x) = logax,gdziex >0,a∈(0, 1)∪(1,∞)nazywamyfunkcją logarytmicznąo podstawiea.Wykresy funkcji logarytmicznejWłasności funkcji logarytmicznejf(x) = logaxdlaa∈(0, 1)∪(1,∞)1. Dziedziną naturalną funkcji logarytmicznejf(x) = logaxjest zbiór liczb rzeczywistychdodatnich (x>0).2. Funkcja logarytmiczna przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.3. Funkcja logarytmiczna jest funkcją ciągłą.4. Funkcja logarytmiczna jest funkcjąróżnowartościowątzn. jeżelia∈(0, 1)∪(1,∞),to dla dowolnychx1, x2∈R,logax1= logax2⇔x1=x2.5. Funkcja logarytmiczna jest funkcją monotoniczną:5.1. Jeżelia∈(1,∞),to funkcjaf(x) = logaxjestfunkcją rosnącą,tzn. że dladowolnychx1, x2∈Rlogax1<logax2⇔x1< x2,5.2. Jeżelia∈(0, 1),to funkcjaf(x) = logaxjestfunkcją malejącą,tzn. że dladowolnychx1, x2∈Rlogax1<logax2⇔x1> x2,6. Funkcjef(x) =axif(x) = logaxsą względem siebie funkcjami odwrotnymi orazwykresy tych funkcji są symetryczne względem funkcjiy=x.7. Dla dowolnegox >zachodzi wzóralogax=x.4 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |