Własności całki podwójnej, Polibuda
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ I. Liniowość całki. f, g – całkowalne w P , 1 O αf + βg – całkowalne w P oraz 2 O , R f g d fd gd P P P II. Addywność całki względem obszaru całkowania. f – całkowalna w prostokącie P , gdzie P jest sumą dwóch prostokątów P 1 ,P 2 , 1 O f – całkowalna w P 1 , f – całkowalna w P 2 oraz 2 O o rozłącznych wnętrzach, P P 1 P , 2 fd fd fd int P 1 o int P . 2 P P P 1 2 III. Ograniczoność całki. f – całkowalna w prostokącie P , m : inf f x , y m M f x , y d , x , y P M : sup f x , y P gdzie - pole prostokąta P . x , y P Twierdzenie ( całkowe o wartości średniej ) Z: f , gdzie C ( P ) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie P wartość średnia C P 1 T : A P : f ( A ) f , x , y d gdzie - pole prostokąta P. P Dowód Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej M m P 1 f x , y d funkcja f ciągła, więc spełniona jest własność Darboux 1 A P : f ( A ) f x , y d P □ 1 Twierdzenie ( o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną ) : f C ( P ), gdzie P a , b c , d d b T : f x , y d f x , y dx dy P c a oraz b d f x , y d f . x , y dy dx P a c Uwaga Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy całką iterowaną . Oznaczenia 1. Sybol d nazywamy elementem pola i oznaczamy . dxdy 2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci. d b ozn . d b f x , y dx dy dy f x , y dx c a c a b d ozn . b d f x , y dy dx dx f x , y dy a c a c Przykład Obliczyć całkę podwójną I xy 2 dxdy , gdzie P : 0 x 2 . 0 y 3 P więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną i wtedy xf , y xy 2 C ( P ), 2 3 2 1 3 2 9 2 I dx xy 2 dy xy 3 dx 9 xdx x 2 18 3 2 0 0 0 0 0 0 opracował Jacek Zańko 2 Z Ponieważ [ Pobierz całość w formacie PDF ] |