Własności całki podwójnej

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ
I. Liniowość całki.
f, g
– całkowalne w
P
,

1
O
αf + βg
– całkowalne w
P
oraz
2
O

,


R


 

f



g
d




fd




gd
P
P
P
II. Addywność całki względem obszaru całkowania.
f –
całkowalna w prostokącie
P
, gdzie
P
jest sumą dwóch prostokątów
P
1
,P
2
,

1
O
f
– całkowalna w
P
1
,
f
– całkowalna w
P
2
oraz
2
O



o rozłącznych wnętrzach,
P

P
1
P
,

2



fd



 
fd


fd
int
P

1
o
int
P

.

2
P
P P
1
2
III. Ograniczoność całki.
f
– całkowalna w prostokącie
P
,



 
m
:

inf
f
 
x
,
y

m




M
f
 
x
,
y
d




,
x
,
y

P
 
M
:

sup
f
x
,
y


P
gdzie

- pole prostokąta
P
.

 
x
,
y

P
Twierdzenie
(
całkowe o wartości średniej
)
Z:
 
f

, gdzie
C
(
P
) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie
P
wartość średnia
C
P



1
T
:

A



P
:
f
(
A
)



f
 
,
x
,
y
d
gdzie

- pole prostokąta
P.
P
Dowód
Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej
 
M
m
P

1

f
x
,
y
d




funkcja
f
ciągła, więc spełniona jest własność Darboux
1

A



P
:
f
(
A
)


f
 
x
,
y
d
P
□
1


Twierdzenie
(
o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną
)
   
:
f

C
(
P
),
gdzie
P

a
,
b

c
,
d
d

b

T
:

f
 
x
,
y
d


 


f
 
x
,
y
dx


dy
P
c
a
oraz
b

d


f
 
x
,
y
d


 


f
 
.
x
,
y
dy


dx
P
a
c
Uwaga
Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy
całką
iterowaną
.
Oznaczenia
1. Sybol 
d
nazywamy elementem pola i oznaczamy
.
dxdy
2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.
d

b

ozn
.
d
b
 


f
 
x
,
y
dx


dy

 
dy
f
 
x
,
y
dx
c
a
c
a
b

d
 

ozn
.
b
d
 
 


f
x
,
y
dy


dx

 
dx
f
x
,
y
dy
a
c
a
c
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
I


xy
2
dxdy
,
gdzie
P
:

0

x

2
.
0

y

3
P

więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki
podwójnej na całkę iterowaną i wtedy
xf

,
y
xy
2
C
(
P
),
2
3
2

1

3
2
9
2
I


dx

xy
2
dy



xy
3

dx


9
xdx

x
2

18
3
2
0
0
0
0
0
0
opracował Jacek Zańko
2
Z
Ponieważ
 
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl