Własności funkcji, LICEUM, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
5 Ogólne własno±ci funkcji. Niech dane b¦d¡ niepuste zbiory X,Y . Je±li ka»demu elementowi zbioru X przyporz¡dkujemy dokładnie jeden element zbioru Y , to mówimy, »e została okre±lona funkcja (odwzorowanie) zbioru X w zbiór Y i piszemy f : X ! Y . Ka»dy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f , cały zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji f i piszemy D lub D f . Element zbioru Y , który fukcja f przyporz¡dkowuje argumentowi x oznaczamy przez f ( x ) i nazywamy warto±ci¡ funkcji odpowiadaj¡c¡ argumentowi x . Zbiór wszystkich warto±ci funkcji nazywamy przeciwdziedzin¡ i piszemy R lub R f . Uwaga. Je±li funkcj¦ okre±la tylko wzór, bez jawnego okre±lenia dziedziny, to zbiór elementów nale»¡- cych do X , dla których ten wzór ma sens, nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji. Uwaga. Podanie jawne dziedziny lub wyznaczenie dziedziny naturalnej jest cz¦±ci¡ definicji funkcji, jest wi¦c niezb¦dne. Jednak wyznaczenie przeciwdziedziny nie jest dla prawidłowego zdefiniowania funkcji potrzebne, cz¦sto jest trudne. Przykład. I. f ( x ) = q 4 − ( x − 4) 2 ! D , R . II. g ( x ) = q 4 − ( x − 4) 2 + 1 ( x − 3)( x − 5) ! D , R . Dla dowolnej funkcji f : X ! Y u»ywamy nast¦puj¡cych okre±le«: f ( a ) - obraz elementu a 2 X f ( A ) = { f ( a ) : a 2 A } - obraz zbioru A X f − 1 ( b ) - przeciwobraz elementu b 2 Y f − 1 ( B ) = { a 2 A : f ( a ) 2 B } - przeciwobraz zbioru B Y 26 Ze wzgl¦du na to jakimi zbiorami s¡ dziedzina i przeciwdziedzina wyró»niamy pewne rodzaje odwzorowa«: funkcja rzeczywista (jednej zmiennej) f : R ! R f : x ! y lub y = f ( x ) ci¡g a : N ! R a : n ! a n lub a ( n ) = a n funkcja rzeczywista n zmi- ennych, n 2 f : R n ! R f : ( x 1 ,...,x n ) ! y lub y = f ( x 1 ,...,x n ) funkcja wektorowa f : R ! R n f : t ! [ y 1 ,...,y n ] y 1 = f 1 ( t ) ,...,y n = f n ( t ) pole wektorowe płaskie f : R 2 ! R 2 F : ( x,y ) ! [ X,Y ] X = X ( x,y ) , Y = Y ( x,y ) pole wektorowe f : R 3 ! R 3 F : ( x,y,z ) ! [ X,Y,Z ] X = X ( x,y,z ) , Y = Y ( x,y,z ) , Z = Z ( x,y,z ) przestrzenne przekształcenie przestrzeni wielowymiarowej f : R n ! R m f : ( x 1 ,...,x n ) ! ( y 1 ,...,y m ) lub y 1 = f 1 ( x 1 ,...,x n ) ,...,y m = f n ( x 1 ,...,x n ) Uwaga. Argumentami pola wektorowego s¡ punkty płaszczyzny R 2 lub przestrzeni R 3 . Warto±ci pola wektorowego interpretujemy jako wektory le»¡ce b¡d¹ na płaszczy¹nie R 2 b¡d¹ w przestrzeni R 3 . Zatem na warto±ciach pola wektorowego mo»na wykonywa¢ operacje typowe dla wektorów. 27 Przykłady. I. f : R 2 ! R , f ( x,y ) = p 1 − x 2 − y 2 ! D f = { ( x,y ) : x 2 + y 2 ¬ 1 } . Wtedy np. f (1 , 0) = 0 , f (1 / 2 , 1 / 3) = p 23 / 6 . Ponadto { ( x,y,z ) : z = f ( x,y ) , ( x,y ) 2D f } jest górn¡ półsfer¡ o ±rodku w pocz¡tku układu i promieniu 1. II. g : R ! R 2 , g ( t ) = [cos t, sin t ] ! D g = R . Wtedy np. f ( / 2) = [0 , 1] , f ( ) = [ − 1 , 0] . Ponadto dla dowolnego t 2 R mamy | f ( t ) | = 1 . III. F : R 3 ! R 3 , F ( x,y,z ) = [ x z , y x , z y ] . Wtedy np. F (1 , 2 , 3) = [2 / 3 , 6 , 3 / 2] , F (1 , 1 , 1) = [1 , 1 , 1] , 6 . Inne przykłady odwzorowa«: ² wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia 2: " a b c d # det : M 2 ! R , det = ad − bc . ² prawdopodobie«stwo jest funkcj¡ okre±lon¡ na zbiorze zdarze« losowych o warto±ciach w zbiorze R (przeciwdziedzin¡ jest [0 , 1] ). Niech f : R X ! Y R , y = f ( x ) b¦dzie funkcj¡ rzeczywist¡ (jednej zmiennej). Definicja 1 Zbiór { ( x,y ) 2 R 2 : y = f ( x ) ,x 2 X } nazywamy wykresem funkcji f w X . Uwaga. Ka»da prosta postaci x = a,a 2 R przecina wykres funkcji co najwy»ej w jednym punkcie. 28 | F (1 , 1 , 1) | = p 3 , F (1 , 2 , 3) − F (1 , 1 , 1) = [ − 1 / 3 , 5 , 1 / 2] , F (1 , 2 , 3) F (1 , 1 , 1) = 49 Definicja 2 Dwie funkcje f 1 oraz f 2 s¡ równe, je±li D f 1 = D f 2 oraz dla ka»dego x nale»¡cego do dziedziny mamy f 1 ( x ) = f 2 ( x ) . Piszemy wtedy f 1 f 2 . x +1 oraz f 2 ( x ) = x − 1 s¡ ró»ne mimo, »e dla ka»dego x 6 = − 1 mamy f 1 ( x ) = f 2 ( x ) . Jest to konsekwencj¡ tego, »e D f 1 = R \{− 1 }6 = R = D f 2 . Definicja 3 Niech b¦d¡ dane dwie funkcje f 1 : X 1 ! Y oraz f 2 : X 2 ! Y . Je±li X 1 X 2 i dla ka»dego x 2 X 1 jest f 1 ( x ) = f 2 ( x ) , to mówimy, »e f 2 jest rozszerzeniem f 1 na zbiór X 2 , oraz, f 1 jest zaw¦»eniem f 2 do zbioru X 1 . Przykład. Dla f 1 ( x ) = x 2 − 1 x +1 oraz f 2 ( x ) = x − 1 mamy: f 2 jest rozszerzeniem f 1 na cały zbiór R , f 1 jest zaw¦»eniem f 2 do zbioru R \{− 1 } . Mo»na te» poda¢ nast¦puj¡cy zwi¡zek pomi¦dzy f 1 oraz f 2 : < f 1 ( x ) dla x 6 = − 1 , − 2 f 2 ( x ) = : dla x = − 1 . Definicja 4 Funkcj¦ f : X ! Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ w zbiorze X gdy ^ [ x 1 6 = x 2 ] ) [ f ( x 1 ) 6 = f ( x 2 )] . x 1 ,x 2 2 X Uwaga. Funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ nazywamy równie» funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡ lub iniekcj¡ . Zapisujemy ten fakt symbolem 1 : 1 . 29 Uwaga. Zatem dwie funkcje o ró»nych dziedzinach s¡ ró»ne. Na przykład f 1 ( x ) = x 2 − 1 oraz Definicja 5 Funkcj¦ f : X ! Y nazywamy suriekcj¡ zbioru X na zbiór Y , je±li ka»dy element zbioru Y jest warto±ci¡ funkcji f . Uwaga. Powy»sz¡ definicj¦ mo»na zapisa¢ w postaci: ^ _ f ( x ) = y. y 2 Y x 2 X Definicja 6 Funkcj¦ f : X ! Y nazywamy bijekcj¡ zbioru X na zbiór Y , je±li jest iniekcj¡ oraz suriekcj¡. Przykłady. I. Zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji: x − 3 , 2. g ( x ) = p x − x , 3. h ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . II. Funkcja f ( x ) = q q 4 − ( x − 4) 2 jest suriekcj¡ zbioru [2 , 6] na zbiór [0 , 2] . Funkcja g ( x ) = 4 − ( x − 4) 2 + ( x − 3)( x − 5) jest suriekcj¡ zbioru [2 , 6] na zbiór R . 1 Czy jest suriekcj¡ funkcja h ( x ) = ( x − 3)( x − 5) ? Je±li tak, to na jaki zbiór? 1 Niech dane b¦d¡ dwie funkcje f : X ! U oraz g : W ! Y . Niech ponadto R f D g . Zatem f : X 3 x ! u = f ( x ) 2R f oraz g : D g 3 u ! y = g ( u ) 2 Y . Mo»na wi¦c przyporz¡dkowa¢ argumentowi x 2 X warto±¢ y = g ( u ) = g ( f ( x )) 2 Y . W ten sposób zdefiniowali±my now¡ funkcj¦ h : X ! Y dan¡ wzorem h ( x ) = g ( f ( x )) . Funkcj¦ h nazywamy zło»eniem lub superpozycj¡ funkcji f i g i piszemy h = g f . Funkcj¦ f nazywamy funkcj¡ wewn¦trzn¡ , a g funkcj¡ zewn¦trzn¡ tego zło»enia. 30 1. f ( x ) = x +5 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |