Własne wektory

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Z45:Algebraliniowa
Zagadnienie:wyznaczaniewarto±ciwłasnychiwektorówwłasnychma-
cierzy
Zadanie:warto±ciwłasne,wyznaczanieiinterpretacja.
Wektoryiwarto±ciwłasne
Warto±ciwłasneiwektorywłasneodgrywaj¡zasadnicz¡rol¦wrozwi¡zywa-
niurówna«ró»niczkowychliniowych,wbadaniuichstabilno±ci,wwyzna-
czaniustanówstacjonarnychwzagadnieniachmechanikikwantowejorazw
równaniachcz¡stkowych.
Dobrympunktemwyj±ciadowprowadzeniapoj¦ciawarto±ciwłasneji
wektorawłasnegos¡układyrówna«ró»niczkowychliniowych
x
0
=
A
x
,
gdzie
A
jestmacierz¡kwadratow¡owymiarach
n
×
n
.Szukamyrozwi¡za«
postaci
x
(
t
)=
v
e
t
,
2
C
,
v
2
C
n
.
Poniewa»(
e
t
)
0
=
e
t
,wi¦c
x
0
(
t
)=
d
dt
v
e
t
=
v
e
t
.
Podstawiaj¡cwyliczon¡warto±¢
x
0
(
t
)donaszegoukładuotrzymujemy
v
e
t
=
A
(
v
e
t
)=
e
t
A
v
.
Zatemfunkcja
x
(
t
)=
v
e
t
jestrozwi¡zaniemukładuwtedyitylkowtedy,
gdystała
2
C
iwektor
v
2
C
n
spełniaj¡równanie
A
v
=
v
.
Je»eliliczba
2
C
iniezerowywektor
v
2
C
n
spełniaj¡powy»sze
równanie,to
nazywamy
warto±ci¡własn¡
,awektor
v
wektoremwłasnym
macierzy(odwzorowania)
A
.Je»eli
jestwarto±ci¡własn¡,a
v
wektorem
własnymmacierzy
A
odpowiadaj¡cym
,tospełniaj¡onerównanie
(
A
−
I
)
v
=
0
.
Wistociejesttojednorodnyukład
n
równa«liniowycho
n
niewiadomychi
maonniezerowerozwi¡zanie
v
wtedyitylkowtedy,gdy
det(
A
−
I
)=0
.
1
Ostatnierównanienazywamy
równaniemcharakterystycznym
.Układzło-
»onyzwektorówwłasnychodpowiadaj¡cychró»nymwarto±ciomwłasnym
jestliniowoniezale»ny.Wszczególno±ci,je»elimacierzkwadratowawymiaru
n
×
n
ma
n
ró»nychwarto±ciwłasnych,toodpowiadaj¡ceimwektorywłasne
tworz¡baz¦w
C
n
.
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl