W1 05-10, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD 1 5-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska TEORIA POLA FUNKCJE WEKTOROWE Definicja: Funkcja wektorowa jednej zmiennej Niech I ⊂ R będzie dowolnym przedziałem. Funkcję r:I R 3 R 2 nazywamy funkcją wektorową jednej zmiennej. Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci: r t =[ x t ,y t ,z t ] lub r t =[ x t ,y t ] dla t ∈ I x t ,y t ,z t to funkcje skalarna zmiennej t Definicja: Funkcja wektorowa wielu zmiennych Niech D ⊂ R 3 R 2 . Funkcję F:D R 3 R 2 nazywamy wektorową wielu zmiennych. Funkcję taka będziemy zapisuje się w postaci: F x,y,z =[ P x,y,z ,Q x,y,z ,R x,y,z ] dla x,y,z ∈ D F x,y,z =[ P x,y,z ,Q x,y,z ] dla x,y ∈ D P,Q,R to funkcje skalarne określane na obszarze D POLE SKALARNE, POLE WEKTOROWE Definicja: Pole skalarne Polem skalarnym określanym na obszarze D ⊂ R 3 R 2 nazywamy funkcję skalarną f:D R Definicja: Powierzchnia ekwiskalarna Powierzchnia f x,y,z = C , gdzie C jest stała rzeczywistą Definicja: Ciągłość pola skalarnego Mówimy, że pole skalarne jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja skalarna f:D R jest funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną) Definicja: Pole wektorowe Polem wektorowym, określonym w obszarze D ⊂ R 3 R 2 nazywamy funkcję wektorową F:D R 3 R 2 Definicja: Ciągłość pola wektorowego Mówimy, że pole wektorowe jest ciągłe(n-krotnie różniczkowalne), jeżeli funkcja wektorowa jest F:D R 3 R 2 funkcją ciągłą(n-krotnie różniczkowalną) GRADIENT POLA SKALARNEGO Definicja: Gradient pola skalarnego Załóżmy, że dane jest pole skalarne f x,y,z [ f x,y ] określone w obszarze D ⊂ R 3 R 2 Gradientem pola skalarnego f w punkcie A 0 x 0, y 0, z 0 ∈ D [ A 0 x 0, y 0 ∈ D ] nazywamy wektor: gradf A 0 =[ δf δx A 0 , δf δy A 0 , δf δz A 0 ] lub gradf A 0 =[ δf δx A 0 , δf δy A 0 ] 1 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska Definicja: Operator Hamiltona Specyficzny wektor nazywany również „nablą” o postaci: δx , δ δy , δ δz ] wówczas gradf =∇ f =[ δf δx , δf δy , δf δz ] Własności gradientu: • gradient gradf A 0 jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwiskalarnej f x,y,z = C przechodzącej przez punkt A 0 • długość wektora gradientu ∣ gradf A 0 ∣ jest wprost proporcjonalna do szybkości wzrostu pola • zwrot wektora gradf A 0 jest od powierzchni ekwiskalarnej o mniejszej wartości pola do powierzchni ekwiskalarnej o większej wartości pola DEWERGENCJA POLA WEKTOROWEGO Definicja: Dywergencji pola wektorowego Załóżmy, że dane jest pole wektorowe F x,y,z [ F x,y ] określone w obszarze D ⊂ R 3 R 2 Dywergencja pola wektorowego F =[ P,Q,R ] [ F =[ P,Q ]] w punkcie A 0 x 0, y 0, z 0 ∈ D [ A 0 x 0, y 0 ∈ D ] nazywamy liczbą div F A 0 = δP δx A 0 δQ δy A 0 δR δz A 0 div F A 0 = δP δx A 0 δQ δy A 0 Dywergencję nazywamy inaczej rozbieżnością pola wektorowego. Definicja: Pole bez źródłowe Jeżeli div F A =0 dla każdego punktu A ∈ D to pole F nazywa się bez źródłowym. Definicja: Operator Laplace'a ∇ 2 = ∆∆ =[ δ 2 δx 2 , δ 2 δy 2 , δ 2 δz 2 ] ROTACJA POLA WEKTOROWEGO Definicja: Rotacja pola wektorowego Załóżmy, że dane jest pole wektorowe F x,y,z [ F x,y ] określone w obszarze D ⊂ R 3 R 2 Rotacja pola wektorowego F =[ P,Q,R ] [ F =[ P,Q ]] w punkcie A 0 x 0, y 0, z 0 ∈ D [ A 0 x 0, y 0 ∈ D ] nazywamy wektor: rot F A 0 =[ δR δy A 0 − δQ δz A 0 , δP δz A 0 − δR δx A 0 , δQ δx A 0 − δP δy A 0 ] rot F A 0 =[0 , 0 , δQ δx A 0 − δP δy A 0 ] Rotację pola nazywamy inaczej wirowością pola wektorowego. 2 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska ∇=[ δ Definicja: Pole bez wirowego Jeżeli rot F a =0 dla każdego A ∈ D to pole F nazywamy bez wirowym. POTENCJAŁ POLA WEKTOROWEGO Definicja: Potencjalne pole wektorowe Pole wektorowe F określone w obszarze D ⊂ R 3 R 2 nazywamy polem potencjalnym, jeżeli istnieje pole skalarne f określone w D takie, że: F = gradf Pole skalarne f nazywamy wówczas potencjałem pola F Definicja: Powierzchnie ekwipotencjalne Powierzchnie równego potencjału f x,y,z = C dla f będącego potencjałem pola wektorowego F . Definicja: Warunek konieczny potencjalności pola F Pole F jest potencjalne w obszarze D , jeżeli rot F x,y,z =0 dla każdego x,y,z ∈ D Definicja: Warunek dostateczny potencjalności pola F Niech D =[ a 1, a 2 ]×[ b 1, b 2 ]×[ c 1, c 2 ] wówczas pole F jest potencjalne w obszarze D wtedy i tylko wtedy gdy rot F x,y,z =0 dla każdego x,y,z ∈ D 3 WYKŁAD 1. 26-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska [ Pobierz całość w formacie PDF ] |