W2 12-10, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD 2 12-10-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska CAŁKA KRZYWOLINIOWA Definicja: Łuk gładki Łuk gładki w przestrzeni R 3 nazywamy zbiór L ={ x,y,z ∈ R 3 :x = x t ,y = y t ,z = z t ; ≤ t ≤} gdzie: • różnym wartościom parametru t ∈ , odpowiednio różne punkty łuku L • funkcje x = x t ,y = y t ,z = z t są klasy C 1 〈 , 〉 , to znaczy że istnieje ciągła pierwsza pochodna funkcji wektorowej f • dla każdego t ∈〈 , 〉 x' t 2 y' t 2 z' t 2 0 Definicja: Łuk kawałkami gładki Łuk nazywamy kawałkami gładkim, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich. L = L 1 ∪ L 2 ∪...∪ L n Definicja: Równanie wektorowe łuku Równani r = r t gdzie t ∈〈 , 〉 nazywamy równaniem wektorowym łuku L , przy czym: L ⊂ R 3 to r t =[ x t ,y t ,z t ] L ⊂ R 2 to r t =[ x t ,y t ] Definicja: Krzywa zamknięta Jeżeli r = r to łuk L jest łukiem zamkniętym, krzywą zamkniętą. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIEZORIENTOWANA Definicja: Całka krzywoliniowa Całkę krzywoliniową z funkcji f = f P ciągłą na łuku gładkim L: r = r t ,t ∈〈 , 〉 oznaczmy symbolem ∫ L f P dl lub ∫ L f x,y,z dl [ ∫ L f x,y dl ] oraz określamy wzorem: ∫ L f P dl = ∫ f r t ∣ r' t ∣ dt PRZYPADKI SZCZEGÓLNE CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ • Jeżeli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym r t =[ x t ,y t ,z t ] t ∈〈 , 〉 to: ∫ L f x,y,z dl = ∫ f x t ,y t ,z t x' t 2 y' t 2 z' t 2 dt • Jeżeli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym r t =[ x t ,y t ] t ∈〈 , 〉 to: ∫ L f x,y dl = ∫ f x t ,y t x' t 2 y' t 2 dt 1 WYKŁAD 2. 12-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska • Jeżeli łuk gładki L jest wykresem funkcji klasy C 1 〈 a,b 〉 danej wzorem y = y x x ∈〈 a,b 〉 to: ∫ L f x,y dl = ∫ a b f x,y x 1 y' x 2 dx WŁASNOŚCI CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ 1. Załóżmy, że istnieją całki ∫ L f P dl i ∫ L g P dl wówczas ∫ L f P g P dl = ∫ L f P dl ∫ L g P dl 2. Dla dowolnej stałej C ∈ R ∫ L Cf P dl = C ∫ L f P dl 3. Jeżeli łuk L jest kawałkami gładki i L = L 1 ∪ L 2 ∪...∪ L n ∫ L f P dl = ∫ L1 f P dl ∫ L2 f P dl ... ∫ Ln f P dl 4. Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim L i M = max P ∈ L ∣ f P ∣ to ∣ ∫ L f P dl ∣≤ ∫ L ∣ f P ∣ dl M ∫ L dl 2 WYKŁAD 2. 12-02-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska [ Pobierz całość w formacie PDF ] |