W-8EL, Politechnika Łódzka, 2 rok, Elektronika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
I G Linie długie I L Z G U G U L Z L l = długość linii Obwód o stałych skupionych: wymiar obwodu << długość fali . Jest to przybliżenie nieskończenie wielkiej prędkości rozchodzenia się sygnału. λ ≈λ Linia długa: przykład obwodu o stałych rozłożonych. Generator o impedancji wewnętrznej Z zasila obciążenie o impedancji Z poprzez linię o długości l. Wskutek skończonej prędkości światła, informacja np. o zmianie napięcia wyjściowego generatora U dotrze do obciążenia z opóżnieniem. Pozostałe oznaczenia: I - prąd dostarczany przez generator, U - napięcie na obciążeniu, I - prąd pobierany przez obciążenie G L G G L L Zastosowanie linii długich: przesyłanie energii, telekomunikacja, systemy antenowe, układy pomiarowe. Obwód o stałych rozłożonych: wymiar obwodu / 4 a jest objektem fizycznym składającym się z dwóch przewodów. Objekt taki można scharakteryzować następującymi cechami: a) Układ dwóch przewodów wytwarza pod wpływem płynącego prądu strumień magnetyczny. Cechą linii długiej jest jej indukcyjność na jednostkę długości L Układ dwóch przewodów posiada pojemność elektryczną. Cechą linii długiej jest jej pojemność na jednostkę długości C Przewody elektryczne charakteryzują się opornością odpowiedzialną za straty przesyłanej energii. Cechą linii długiej jest jej oporność strat na jednostkę długości R Izolacja pomiędzy przewodami charakteryzuje się upływnością odpowiedzialną za straty przesyłanej energii. Cechą linii długiej jest jej upływność na jednostkę długości G b ) 0 . . c ) 0 . d ) 0 . Wprowadźmy zmienną x , która zmienia się od 0 do l. Rozpatrzmy następnie segment linii długiej znajdujący się w punkcie x. Długość tego segmentu wynosi x. 0 ∆ ixt (,) ∆ L ∆ R ( +∆ x, t) Segment linii o długości x można opisać następującymi parametrami: ∆ uxt ∆ G ∆ C ux ( +∆ x, t) Indukcyjność: L = L x Pojenmość: C = C x Oporność R = R x Upływność G = G x 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x x +∆ x Uwaga: Zakładamy, ża linia jest jednorodna , stacjonarna i liniowa , tzn. jej parametry L , C , R , G nie zależą od położenia x , czasu t , oraz od napięć u i prądów i . 0 0 0 Linia dług ix ∆ (,) ∆ ∆ 0 Równania Kirchhoffa są słuszne tylko dla obwodów o stałych skupionych. Zakładając, że x 0, to można te równania ułożyć dla segmentu linii x. Segment taki można uważać za obwód o stałych skupionych. ∆ → ∆ Na podstawie odpowiednio II - ego i I - ego prawa Kirchhoffa mamy następujące równania: ( , ) - i(x, t) R - L ∆∆ ∂ i(x, t) t - u(x + x, t) = 0 ∆ ∂ i(x, t) - i(x + x, t) ∆ ∆ − G u(x + x, t) ∆ ∆ − C ∂ u(x + x, t) t ∆ = 0 ∂ Po rozwinięciu uzyskujemy: uxt ixtR x L x ∆ ∆ − ∂ i(x, t) t − − uxt (,) ∂ u(x, t) x ∆ x = 0 0 0 ∂ ∂ (,) (,) ∂ i(x, t) x ∆ ∆ x G x − u(x, t) + ∂ u(x, t) x x ∆ ∆ − C x ∂ u(x + x, t) t ∆ = 0 ∂ 0 ∂ 0 ∂ Po uproszczeniu, podzieleniu przez x , założeniu, że x ∆ ∆ → 0 oraz skorzystaniu uxt (,) (,) − ixt ixt − − z zasady ciągłości funkcji u(x, t) uzyskujemy: ∂ u(x, t) x + ixtR L + ∂ i(x, t) t = 0 I ∂ 0 0 ∂ Są to tzw. równania linii długiej ∂ i(x, t) x + uxtG C (,) + ∂ u(x, t) t = 0 II ∂ 0 0 ∂ W celu rozwiązania problemu należy dokonać rozdziału zmiennych: Po obliczeniu pochodnej cząstkowej pierwszego równania po x a drugiego po t uzyskujemy: ∂ 2 u(x, t) x ∂ i(x, t) x RL ixt ∂ ∂∂ 2 (,) Ponadto z II - ego uzyskujemy: + + = 0 (a) ∂ 2 ∂ 0 0 t x ∂ i(x, t) x ∂ u(x. t) t (c) =− uxtG C (,) 0 0 − ∂ ∂ ∂ 2 ixt (,) ∂ u(x, t) t ∂ 2 uxt (,) ∂ ∂ (b) =− G − C x t 0 ∂ 0 ∂ t 2 Po podstawieniu (b) i (c) do (a): ∂ 2 uxt (,) ∂ 2 uxt (,) ∂ u(x, t) t + LC + + ( CR LG ) + GRuxt ( , ) = 0 ∂ x 2 00 ∂ t 2 00 00 ∂ 00 Podobnie uzyskuje się równanie zawierające i(x, t): ∂ 2 ixt (,) ∂ 2 ixt (,) ∂ i(x, t) t + LC + ( CR LG + ) + GRixt ( , ) = 0 ∂ x 2 00 ∂ t 2 00 00 ∂ 00 (,) Pr zyjmijmy następujący układ współrzędnych I() I L Gdzie : U L = = 0 ) U() U L Z L oraz I == 0 ) L 0 x W przypadku pobudzania linii przebiegiem harmonicznym o częstotliwości u(x) oraz i(x) muszą mieć postać: u(x, t) = Re[U(x, t)] = Re[U(x) e ] , i(x, t) = Re[I(x, t)] = Re[I(x) e ] gdzie U(x) , I(x) są zespolone ω j t ω j t Po podstawieniu U(x, t) i I(x, t) do poprzednich równań uzyskujemy: dUxt dx 2 (,) +− + + + ( LC ωω ω 2 j CR j LG GR Uxt ) ( , ) = 0 , zatem 2 0 0 00 00 00 d 2 Uxt dx ++ + ( Rj LGj CUxt ω )( ω ) ( , ) = 0 , analogicznie 2 0 0 0 0 d 2 Ixt dx +(R + jL G jC Ixt ω )( + ω ) ( , ) = 0 2 0 0 0 0 U x ( Ix ( ω (,) (,) [ Pobierz całość w formacie PDF ] |