W-GRUPY, Matematyka, Analiza
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1Poj¦ciestrukturyalgebraicznej Niech X b¦dziedowolnymzbiorem. Działaniemdwuargumentowym w X nazywamyka»deodwzorowanie : X × X −! X .Takwi¦cka»dejparze uporz¡dkowanej( a,b )elementówz X przypisanyjestjednoznacznieokre±lo- nyelement ( a,b )tegosamegozbioru X .Czasemzamiast ( a,b )piszesi¦ ab ,anajcz¦±ciejdziałaniedwuargumentowew X oznaczasi¦jakim±spe- cjalnymsymbolem: , , · lub+.Zwyczajowob¦dziemynazywa¢element a · b (lub ab ) iloczynem ,a a + b — sum¡ elementów a,b 2 X . Wtymsamymzbiorze X mo»eby¢okre±lonychkilkadziała«.Chc¡cwy- ró»ni¢jednoznichpiszemynp.( X, )imówimy,»e( X, )jest struktur¡ algebraiczn¡ ( systememalgebraicznym ).Mówisi¦tak»e,»edziałanie wpro- wadzawXstruktur¦algebraiczn¡ .Przykładamistrukturs¡wi¦c( Z , +),( Z , · ), ( Q , +)itd.Mo»narównie»mówi¢ostrukturachzwi¦ksz¡liczb¡działa«,np. ( Z , + , · ). Działaniamog¡mie¢ró»newłasno±ci.Wymie«myniektóre: 1. Ł¡czno±¢ .Działanie w X jest ł¡czne ,gdy 8 a,b,c 2 X ( a, ( b,c ))= ( ( a,b ) ,c ) . Je±li jestdodawaniemlubmno»eniem,towarunektenwygl¡datak: a + ( b + c )=( a + b )+ c lub a ( bc )=( ab ) c . 2. Przemienno±¢ .Wypiszmytrzywersjewarunku: 8 a,b 2 X ( a,b )= ( b,a ) , lub a + b = b + a ,lub ab = ba . 3.Istnienie elementuneutralnegoe (odpowiednio:0dladodawanialub1 dlamno»enia).Element e (0lub1)nazywamyneutralnymdladziałania (odpowiednio:+lub · )gdydladowolnego a 2 X : ( a,e )= ( e,a )= a, odpowiednio: a +0=0+ a = a , a · 1=1 · a = a . 4.Posiadanie elementuodwrotnego (wprzypadkudodawaniamówimyo elemencie przeciwnym ).Element b 2 X nazywamyodwrotnym(odpowied- nio:przeciwnymlubodwrotnym)dladziałania (odpowiednio:+lub · )do elementu a 2 X ,gdy ( a,b )= ( b,a )= e, 1 odpowiednio: a + b = b + a =0lub ab = ba =1.Tradycyjniewprzypadku dodawaniaoznaczamytenelementsymbolem − a ,awprzypadkumno»enia symbolem a − 1 . Je±liwzbiorze X wyst¦pujewi¦cejdziała«,tomo»namówi¢o rozdziel- no±ci jednegowzgl¦demdrugiego;dokładnywarunekpojawisi¦wdefinicji pier±cienia. Niekiedywoznaczeniustrukturyakcentujesi¦elementywyró»nione,np. pisz¡c( R ;+ , · ;0 , 1)naoznaczeniezbioruliczbrzeczywistychzdziałaniami dodawaniaimno»eniaielementamineutralnymitychdziała«0i1.Naj- cz¦±ciejjednakzkontekstuwiadomojakiedziałaniarozpatrujemyiwtedy b¦dziemywymienia¢(dlakrótko±ci)tylkozbiór,np.mówi¡costrukturze R . Wtymrozdzialemówi¢b¦dziemyostrukturzezjednymdziałaniem. 2Okre±lenieiprzykładygrup Definicja1 .Zbiór G zokre±lonymnanimdziałaniemdwuargumentowym nazywamy grup¡ ,gdy: G1. 8 x,y,z 2 G ( x y ) z = x ( y z ); G2. 9 e 2 G 8 x 2 Ge x = x e = x ; G3. 8 x 2 G 9 x − 1 2 Gx x − 1 = x − 1 x = e . Lemat1 .Grupamatylkojedenelementneutralny. Dowód.Niech e i e 0 b¦d¡elementamineutralnymigrupy G .Wtedyz aksjomatuG2wynika,»edladowolnego x 2 G mamy x = e x ,wi¦c e 0 = e e 0 . Mamytak»e x e 0 = x ,wi¦c e e 0 = e .Zatem e 0 = e . Lemat2 .Dladowolnegoa 2 Gistniejedokładniejedenelementodwrotny a − 1 . Dowód.Niech b i b 0 b¦d¡elementamiodwrotnymidoelementu a .Wtedy zG3iG1: b = eb =( b 0 a ) b = b 0 ( ab )= b 0 e = b 0 . Poniewa»działaniejestł¡czne,wi¦c( ab ) c = a ( bc )mo»napisa¢poprostu jako abc .Ztegosamegopowoduiloczyn a 1 a 2 ...a n mo»napisa¢beznawiasów (aleuwaganakolejno±¢!).Je±li a 1 = a 2 = ... = a n ,totakiiloczynnazywamy 2 n − t¡pot¦g¡ioznaczamy a n .Okre±lamyponadto a 0 = e , a − n =( a n ) − 1 lub a − n =( a − 1 ) n . wiczenie .Wykaza¢,»edla a 2 G , m,n 2 Z a m a n = a m + n ,( a m ) n = a mn . Je±li a n = e dlapewnego n> 0,tonajmniejsz¡zliczbotejwłasno±ci nazywamy rz¦demelementua ioznaczamy | a | .Je±li a n 6 = e dlaka»dego n> 0, to | a | = 1 . Je±ligrupamasko«czon¡liczb¦elementów,tonazywamyj¡ grup¡sko«- czon¡ .Liczb¦elementówgrupynazywamy rz¦demgrupy ;oznaczenie: | G | . wiczenie .Je±li a n = e ,to n dzielisi¦przez | a | . Je»eli G spełniaopróczG1—G3jeszcze: G4. 8 x,y 2 Gx y = y x , tonazywamyj¡ grup¡abelow¡ . Tradycyjniedziałaniewgrupieabelowejoznaczamy+istosujemynast¦- puj¡c¡terminologi¦: Przykłady 1.Zbiórelementówdowolnegociałarozpatrywanyzdodawaniemtworzy grup¦abelow¡,np. Q , R , C . 2.Zbiórelementówniezerowychdowolnegociałarozpatrywanyzmno»e- niemtworzygrup¦abelow¡,np. Q , R , C . 3.Zbiór Z zdodawaniemtworzygrup¦abelow¡. 4.Zbiór Z n resztzdzieleniaprzez n zdziałaniemdodawaniamodulo n tworzygrup¦abelow¡.Jesttogrupasko«czonarz¦du n . 5. Q p = { m p n | m,n 2 Z } ,gdzie p jestliczb¡pierwsz¡,jestaddytywn¡grup¡ abelow¡. 3 · + mno»eniedodawanie iloczyn suma jedynka zero odwrotnyprzeciwny pot¦ga krotno±¢ e lub1 0 a − 1 − a a n na 6.Zbiór C n pierwiastkówstopnia n z1jestgrup¡multyplikatywn¡sko«- czon¡rz¦du n . 7.Niechb¦dziezbiorem,a S ()niechoznaczazbiórodwzorowa«od- wracalnych −! .Zbiór S ()zdziałaniemskładaniatworzygrup¦. 8.Wszczególno±ci,gdy= { 1 , 2 ,...,n } ,to S ()jestgrup¡permutacji n -elementowych.Nazywamyj¡ grup¡symetryczn¡ ioznaczamy S n .Grupa S n jestsko«czona; | S n | = n !.Dla n> 2grupy S n s¡nieabelowe. 9.Niech K b¦dziedowolnymciałem.Zbiórmacierzynieosobliwycho wyrazachz K zdziałaniemmno»eniamacierzyjestgrup¡.Oznaczamyj¡ GL ( n,K )lub GL n ( K )inazywamy pełn¡grup¡liniow¡ .Jedynk¡tejgrupy jestmacierzjednostkowa;elementemodwrotnymdomacierzy A jestmacierz odwrotna A − 1 . W GL n ( K )mo»narozpatrywa¢nast¦puj¡cepodzbiory: a) SL n ( K )= { A 2 GL n ( K ):det A =1 } ; b) D n ( K )= { A 2 GL n ( K ): A jestdiagonalna } ; c) T n ( K )= { A 2 GL n ( K ): A jestgórnotrójk¡tna } ; d) UT n ( K )= { A 2 T n ( K ): A majedynkinaprzek¡tnej } . Grupytenosz¡nazwy: specjalnagrupaliniowa,grupadiagonalna,grupa trójk¡tna,grupaunitrójk¡tna . Uwaga .Trzyaksjomatygrupypowoduj¡,»ejesttostrukturado±¢bogata wewłasno±ciiprzeztointeresuj¡ca.Jednakrozpatrujesi¦równie»struktury ubo»sze.Wspomnijmytylkoopółgrupie. Definicja2 .Zbiór G zokre±lonymnanimdziałaniemdwuargumentowym nazywamy półgrup¡ ,gdydziałanietojestł¡czne,tj. 8 x,y,z 2 G ( x y ) z = x ( y z ) . Poj¦ciepółgrupyokazałosi¦bardzou»yteczne,np.wteoriiautomatów. 3Podgrupy Je±lipodzbiór H grupy G jestzamkni¦tyzewzgl¦dunamno»enie(tj. a,b 2 H ) ab 2 H ),toograniczenieoperacjimno»eniado H jestdziałaniem 4 na H .Je»eliwzgl¦demtegodziałania H jestgrup¡,tomówimy,»e H jest podgrup¡ G ioznaczamy H ¬ G .Je±li H ¬ G i H 6 = G ,topiszemy H<G . Lemat3 .Nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne: a)H ¬ G; b) 8 a,b 2 Hab − 1 2 H; c) 8 a,b 2 Hab 2 H ^ a − 1 2 H. Warunkitemo»nazapisa¢inaczejstosuj¡cpoj¦cie iloczynukompleksowe- go podzbiorówgrupy G : AB def = { ab : a 2 A,b 2 B } iprzyjmuj¡c: A − 1 def = { a − 1 : a 2 A } dla A G i B G . Lemat4 .Nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne: a)H<G; b)HH H ^ H − 1 H. Przykłady 1. Z < Q p < Q < R < C .Zauwa»my,»e Z = T Q p . 2. Q < R < C . 3. C p < C p 2 <...< C p 1 .Ponadto C p 1 = S C p n . 4.Dla n 2: SL n ( K ) < GL n ( K ), D n ( K ) < T n ( K ), UT n ( K ) < T n ( K ) < GL n ( K ) . 5 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |