W. Kubiś - Wykłady z topologii I, Matematyka wyższa, Topologia
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyklady z topologii I Wieslaw Kubis Akademia ´ Swi¸etokrzyska ul. ´ Swi¸etokrzyska15,25-406Kielce,Poland E-mail: wkubis@pu.kielce.pl 1maja2006 Spis tresci 1 Przestrzenie metryczne 3 1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ci , agi i zbieznosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Ci , aglosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Odwzorowania lipschitzowskie i izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Kule, zbiory otwarte i domkni , ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Wprowadzenie do topologii 9 2.1 Topologia na zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Domkni , ecie i wn , etrze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Systemy otoczen, bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Przestrzenie metryzowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Generowanie topologii – podbazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Odwzorowania ci , agle, homeomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 Zbiory g , este, osrodkowosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Aksjomaty oddzielania 19 3.1 Definicje i proste wlasnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Lemat Urysohna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Twierdzenie o metryzowalnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 4 Zwartosc 25 4.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Charakteryzacje zwartosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Zwarte przestrzenie Hausdora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Twierdzenie Tichonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Zwartosc w przestrzeniach metrycznych 33 5.1 Ci , agowa zwartosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Calkowita ograniczonosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Charakteryzacja zwartosci przestrzeni metryzowalnych . . . . . . . . . . . . . . 34 6 Zupelnosc 36 6.1 Definicje i proste wlasnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Zwartosc a zupelnosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.3 Inne wazne twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.4 Twierdzenie Baire’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7 Dodatek I: Zbieznosc jednostajna 42 8 Dodatek II: Uzupelnienie 46 2 1 Przestrzenie metryczne W rozdziale tym omawiamy krotko przestrzenie metryczne i ich podstawowe wlasnosci, a takze ci , aglosc odwzorowan. 1.1 Definicje Metryk , a na zbiorze X nazywamy funkcj , e d: X×X![0, +1) spelniaj , ac , a warunki: (M1) d(x,y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, (M2) d(x,y) = d(y,x), (M3) d(x,z)6d(x,y) + d(y,z), dla kazdych x,y,z2X. Warunek (M3) nazywa si , e zwykle warunkiem trojk , ata lub nierowno- sci , a trojk , ata. Par , ehX,dinazywamy przestrzeni , a metryczn , a. Poj , ecie metryki jest uogolnieniem zwyklej odleglosci punktow na prostej wR m danej wzorem d(x,y) = 2 p |x 1 −y 1 | 2 +|x 2 −y 2 | 2 +···+|x m −y m | 2 , gdzie x = (x 1 ,...,x m ), y = (y 1 ,...,y m ). Odleglosc ta nazywana bywa metryk , a euklidesow , a. Ponizej podajemy kilka typowych przykladow przestrzeni metrycznych. Przyklad 1.1. Trzy metryki na plaszczyznie. Rozwazmy plaszczyzn , eR 2 z nast , epuj , acymi %(hx 1 ,y 1 i,hx 2 ,y 2 i) =|x 1 −x 2 |+|y 1 −y 2 |, (hx 1 ,y 1 i,hx 2 ,y 2 i) = max{|x 1 −x 2 |,|y 1 −y 2 |}. Nietrudno sprawdzic, ze %, s , a metrykami. Odleglosc zwana jest czasem metryk , a miejsk , a, gdyz mozna j , a interpretowac jako dlugosc najkrotszej drogi od punktuhx 1 ,y 1 ido punktu hx 2 ,y 2 iprzy warunku, gdy poruszac si , e mozna tylko pionowo (gora – dol) lub poziomo (lewo – prawo). Zdefiniujmy jeszcze (hx 1 ,x 2 i,hx 2 ,y 2 i) = ( |y 2 −y 1 |, jesli x 1 = x 2 , |y 1 |+|x 2 −x 1 |+|y 2 |, jesli x 1 6= x 2 . Wzor ten mozna interpretowac nast , epuj , aco: plaszczyzn , e traktujemy jako g , est , a dzungl , e przez ktor , a przeplywa prosta rzeka o rownaniu y = 0. Jedyne istniej , ace sciezki, to linie pionowe, czyli prostopadle do rzeki. Mozna tez poruszac si , e po rzece w obie strony. Tak wi , ec opisuje dlugosc najkrotszej drogi od punktuhx 1 ,y 1 ido punktuhx 2 ,y 2 iw tak opisanym ” swiecie”. Z tego wynika, ze jest metryk , a (co mozna tez oczywiscie udowodnic formalnie). Metryka nazywana bywa metryk , a ” rzeka”. 3 odleglosciami Fakt 1.2. NiechhX,dib , edzie przestrzeni , a metryczn , a. Wowczas (a) d(x 1 ,x n )6d(x 1 ,x 2 ) + d(x 2 ,x 3 ) +···+ d(x n−1 ,x n ), (b) |d(x 1 ,x 2 )−d(x 2 ,x 3 )|6d(x 1 ,x 3 ) dla dowolnych x 1 ,x 2 ,...,x n 2X. Dowod. Nierownosc (a) dowodzi si , e przez latw , a indukcj , e. Dla dowodu (b) zauwazmy, ze z warunku trojk , ata mamy d(x 1 ,x 2 )6d(x 1 ,x 3 ) + d(x 2 ,x 3 ) oraz d(x 2 ,x 3 )6d(x 1 ,x 2 ) + d(x 1 ,x 3 ), zatem d(x 1 ,x 2 )−d(x 2 ,x 3 )6d(x 1 ,x 3 ) oraz d(x 2 ,x 3 )−d(x 1 ,x 2 )6d(x 1 ,x 3 ). St , ad wynik a nierownosc (b). 1.2 Ci , agi i zbieznosc Przypomnijmy, ze ci , agiem w zbiorze X nazywamy dowoln , a funkcj , e postaci x:N!X; piszemy zwykle x = (x n ) n2N . Maj , ac dan , a przestrzen metryczn , ahX,di, mozna latwo zdefiniowac zbieznosc ci , agow: mowimy, ze ci , ag (x n ) n2N X jest zbiezny do x w przestrzenihX,dijezeli x2X oraz (8" > 0)(9n 0 )(8n>n 0 ) d(x n ,x) < ". Piszemy wtedy x = lim n!1 x n . Punkt x nazywa si , e granic , a ci , agu (x n ) n2N . Fakt 1.3. W dowolnej przestrzeni metrycznej granica ci , agu jest wyznaczona jednoznacznie, tzn. jezeli ci , ag (x n ) n2N w przestrzeni metrycznejhX,dijest zbiezny jednoczesnie do y oraz z, to y = z. Dowod. Ustalmy " > 0 i z definicji granicy znajdzmy n 1 ,n 2 takie, ze (8n>n 1 ) d(x n ,y) < " oraz (8n>n 2 ) d(x n ,z) < ". Niech n2Nb , edzie takie, ze n>n 1 i n>n 2 . Wowczas korzystaj , ac z warunku trojk , ata otrzymujemy d(y,z)6d(y,x n ) + d(x n ,z) = d(x n ,y) + d(x n ,z) < 2". Skoro " bylo ustalone dowolnie, to dowodzi, ze d(y,z) = 0. Z pierwszego warunku metry ki wnioskujemy, iz y = z. 4 1.3 Ci , aglosc Ustalmy dwie przestrzenie metrycznehX,diihY,%i. Niech f : X!Y b , edzie odwzorowaniem. Przypomnijmy dwie (rownowazne!) definicje ci , aglosci w punkcie: Mowimy, ze funkcja f jest ci , agla w sensie Heinego w punkcie p2X, jesli dla kazdego ci , agu (x n ) n2N X takiego, ze p = lim n!1 x n zachodzi f(p) = lim n!1 f(x n ). Z kolei, f jest ci , agla w sensie Cauchy’ego w punkcie p2X, jezeli dla kazdego " > 0 istnieje > 0 taka, ze %(f(x),f(p)) < " dla kazdego x2X takiego, ze d(x,p) < . Symbolicznie: (8" > 0)(9 > 0)(8x2X) d(x,p) < =)%(f(x),f(p)) < " . B , edziemy mowic krocej, ze f jest ci , agla w punkcie p. Odwzorowanie f jest ci , agle, jesli jest ci , agle w kazdym punkcie swojej dziedziny. Ponizej przypominamy dowod rownowaznosci obu definicji ci , aglosci. Fakt 1.4. Ci , aglosc w sensie Heinego jest rownowazna ci , aglosci w sensie Cauchy’ego. Dowod. Ustalmy przestrzenie metrycznehX,di,hY,%ioraz odwzorowanie f : X!Y i punkt p2X. Zalozmy najpierw, ze f jest ci , agla w sensie Heinego w punkcie p. Przypuscmy, ze f nie jest ci , agla w sensie Cauchy’ego w p. To oznacza: (9" > 0)(8 > 0)(9x2X) d(x,p) < ^%(f(x),f(p))>" . Przyjmuj , ac = 1/n, mozemy znalezc x = x n 2X takie, ze d(x n ,p) < 1/n oraz %(f(x n ),f(p))>". W istocie, korzystamy tu z pewnika wyboru, otzymuj , ac (x n ) n2N X. Zauwazmy, ze jest to ci , ag zbiezny do p whX,di, zas ci , ag (f(x n )) n2N nie jest zbiezny do f(p). To jest sprzeczne z ci , aglosci , a w sensie Heinego. Zalozmy teraz, ze f jest ci , agla w sensie Cauchy’ego w p. Ustalmy ci , ag (x n ) n2N X taki, ze p = lim n!1 x n . Mamy pokazac, ze f(p) = lim n!1 f(x n ). Ustalmy w tym celu " > 0 i dobierzmy > 0 takie, ze zachodzi 8x2X d(x,p) < =)%(f(x),f(p)) < " . Istnieje n 0 takie, ze d(x n ,p) < dla n>n 0 (bo p jest granic , a ci , agu (x n ) n2N ). Wowczas %(f(x n ),f(p)) < " dla n>n 0 . Zatem f(p) = lim n!1 f(x n ), czyli f jest ci , agla w sensi e Heinego w p. 5 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |