W07 kwadratury Gaussa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody Numeryczne
Wykad 7
Cakowanie numeryczne, kwadratury Gaussa
Iwona Wróbel
wrubelki@wp.pl
Metody Numeryczne IL, Wykad 7
p.1/21
Cakowanie numeryczne
Problem: obliczyc cake
Z
b
I(f) =
w(x)f(x)dx
;
a
gdzie f; w : [a; b]
R s a cakowalne, a w(x) jest funkcj a wagow a
(w(x) 0 dla x 2 [a; b]).
!
Kwadratury:
n
X
S(f) =
A
k
f(x
k
)
;
k=0
gdzie
x
k
2 [a; b]
, dla k = 0; : : : ; n, oraz x
i
6= x
j
dla i 6= j s a
w ezami
kwadratury
,
A
k
, dla k = 0s; : : : ; n, s a
wspóczynnikami kwadratury
; s a to
stae
niezalezne od f
.
Metody Numeryczne IL, Wykad 7
p.2/21
Rz ad kwadratury
Denicja
. Kwadratura S(f) jest
rz edu
r, je sli
1. jest dokadna (czyli E(f) = 0) dla wszystkich wielomianów stopnia
r - 1, oraz
2. istnieje wielomian stopnia r, dla którego S(f) nie jest dokadna.
Jak dobrac wspóczynniki A
k
oraz w ezy x
k
, dla k = 0; : : : ; n, aby rz ad
kwadratury by jak najwi ekszy?
Jaki maksymalny rz ad moze mie c kwadratura stopnia n?
P
n
Kwadratura S(f) =
A
k
f(x
k
) ma 2n + 2 parametry.
k=0
Metody Numeryczne IL, Wykad 7
p.3/21
Kwadratury Gaussa
Problem:
Maj ac dane n, jak dobra c w ezy x
k
2 [a; b], oraz
wspóczynniki A
k
, k = 0; : : : ; n, aby kwadratura
Z
b
X
n
w(x)f(x)dx =
A
k
f(x
k
)
k=0
a
bya dokadna dla wszystkich f 2
N
(przestrze n wielomianów stopnia
co najwyzej N), gdzie N jest najwi eksze mozliwe?
(Innymi sowy: wyznaczyc kwadratur e maksymalnego rz edu.)
Metody Numeryczne IL, Wykad 7
p.4/21
Warunek
Z
b
X
n
w(x)f(x)dx =
A
k
f(x
k
)
k=0
a
dla kazdego f 2
N
jest równowazny warunkowi
Z
b
n
X
A
k
x
j
k
;
w(x)x
j
dx =
j = 0; 1; : : : ; N:
k=0
a
Jest to ukad N + 1 równa n (nieliniowych) z 2n + 2-ma niewiadomymi.
Mozna oczekiwac, ze rozwi azanie istnieje, gdy
N + 1 2n + 2
oraz, ze dla
N = 2n + 2
ukad nie ma rozwi aza n.
Czy tak rzeczywiscie jest?
Metody Numeryczne IL, Wykad 7
p.5/21
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl