W17 Pochodne cząstkowe wyższych ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam
Ć
miel – cmiel@agh.edu.pl
Pochodne cz
ą
stkowe wy
ż
szych rz
ę
dów
¶
f
n
f
:
R
É
D
®
R
Niech funkcja
(
D
– otwarty) posiada pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą
w ka
ż
dym punkcie
¶
x
i
x
Î
D
. Jest wi
ę
c okre
ś
lona funkcja
¶
f
¶
f
:
R
n
É
D
'
x
®
(
x
)
¶
x
¶
x
i
i
¶
¶
f
Je
ż
eli powy
ż
sza funkcja ma pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą
po
j
-tej zmiennej
(
x
)
w punkcie
x
, to
¶
x
¶
x
j
i
x
,
i
x
nazywamy
j
ą
drug
ą
pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą
funkcji
f
po
zmiennych
i
oznaczamy
j
2
¶
f
¢
(
x
)
=
f
(
x
)
.
x
j
x
¶
x
¶
x
i
j
i
2
¶
f
Uwaga
: Je
ż
eli
i
=
j
to b
ę
dziemy stosowa
ć
(
x
)
(pochodna czysta)
2
¶
x
i
2
2
¶
f
¶
f
Je
ż
eli
i
¹
j
to
(
x
)
¹
(
x
)
(pochodna mieszana)
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
j
i
i
j
2
2
¶
f
¶
¶
f
¶
Tw
.(Schwarza)
(Malec s.92)
Je
ż
eli pochodne
(
x
)
(
x
)
s
ą
ci
ą
głe w punkcie
x
, to s
ą
i
¶
x
j
x
¶
x
i
x
i
j
równe.
Podobnie definiujemy pochodne cz
ą
stkowe wy
ż
szych rz
ę
dów. Pochodne mieszane, które ró
ż
ni
ą
si
ę
jedynie kolejno
ś
ci
ą
ró
ż
niczkowania, je
ż
eli s
ą
ci
ą
głe to s
ą
sobie równe.
2
2
x
-
y
xy
,
(
x
,
y
)
¹
(
0
)
Przykład
Funkcja
f
(
x
,
y
)
=
2
2
jest ci
ą
gła w punkcie (0,0) i jej pochodne
x
+
y
0
,
(
x
,
y
)
=
(
0
2
2
¶
f
¶
f
¶
f
¶
f
2
¶
f
¶
cz
ą
stkowe s
ą
równe
(
0
y
)
=
-
y
;
(
x
,
=
x
. St
ą
d
(
0
0
)
=
-
1
a
(
0
0
)
=
1
, gdy
ż
i
¶
x
j
x
¶
x
¶
y
¶
y
¶
x
¶
x
¶
y
i
2
¶
f
nie s
ą
ci
ą
głe w punkcie
¶
x
i
x
¶
j
Ró
ż
niczki wy
ż
szych rz
ę
dów
0
0
1
0
0
R
x
=
(
x
,...,
x
)
f
:
Ot
(
x
,
d
)
®
Oznaczenia
D
x=
(
D
x
1
,...,
D
x
n
)
n
Ró
ż
niczk
ą
funkcji
f
w punkcie
x
dla przyrostu
D
x
nazywamy wyra
ż
enie
n
=
¶
f
0
df
(
x
0
,
D
x
)=
(
x
)
x
D
¶
x
i
i
i
1
1
 Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam
Ć
miel – cmiel@agh.edu.pl
0
Ot
(
x
,
d
)
®
Je
ż
eli przy ustalonym
D
x
funkcja
d
(
×
,
D
x
) :
R
ma ró
ż
niczk
ę
, to nazywamy j
ą
drug
ą
ró
ż
niczk
ą
funkcji
f
w punkcie
x
0
i oznaczamy
d
2
f
(
x
0
,
D
x
).
Przykład
. Wyprowadzi
ć
wzór na drug
ą
ró
ż
niczk
ę
funkcji dwóch zmiennych.
¶
f
¶
f
d
((
x
,
x
),
(
D
x
,
D
x
))
=
(
x
,
x
)
D
x
+
(
x
,
x
)
D
x
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
¶
x
¶
x
1
2
2
d
((
x
,
x
),
(
D
x
,
D
x
))
=
1
2
1
2
¶
¶
f
¶
f
¶
¶
f
¶
f
=
[
(
x
,
x
)
D
x
+
(
x
,
x
)
D
x
]
D
x
+
[
(
x
,
x
)
D
x
+
(
x
,
x
)
D
x
]
D
x
=
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
¶
f
¶
f
¶
f
¶
¶
2
1
2
2
=
(
x
,
x
)
D
x
+
2
(
x
,
x
)
D
x
D
x
+
(
x
,
x
)
D
x
=
D
x
+
D
x
f
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
¶
x
2
1
1
2
Druga ró
ż
niczka funkcji wielu zmiennych w danym punkcie jest form
ą
kwadratow
ą
przyrostów
2
n
¶
f
=
2
d
f
((
x
,...,
x
),
(
D
x
,...,
D
x
)
=
(
x
)
D
x
D
x
1
n
1
n
i
j
¶
x
¶
x
i
,
j
1
j
i
Uwagi o zapisie macierzowym drugiej ró
ż
niczki.
¶
2
f
¶
2
f
(
x
)
L
(
x
)
D
x
2
1
¶
x
¶
x
¶
x
1
n
1
[
]
2
d
((
x
,...,
x
),
(
D
x
,
,
,
,.
D
x
))
=
D
x
L
D
x
M
L
M
M
1
n
1
n
1
n
¶
2
f
¶
2
f
D
x
(
x
)
L
(
x
)
n
¶
x
¶
x
2
¶
x
1
n
n
Wzór na
m
-t
ą
ró
ż
niczk
ę
funkcji
n
zmiennych
m
¶
¶
m
d
f
=
(
x
+
,...,
+
x
)
f
D
D
1
n
¶
x
¶
x
1
n
Zadanie
. Napisa
ć
wzór na drug
ą
ró
ż
niczk
ę
funkcji trzech zmiennych i trzeci
ą
ró
ż
niczk
ę
funkcji
dwóch zmiennych
Wzór Taylora
Je
ż
eli funkcja
f
:
R
n
Ot
(
x
0
,
0
É
d
)
x
®
f
(
x
)
Î
R
ma ci
ą
głe pochodne cz
ą
stkowe do rz
ę
du
m
w
Ot
(
x
,
d
)
,
'
Ot
(
x
0
,
to istnieje
qÎ
(0,1) takie ,
ż
e dla ka
ż
dego
x
Î
d
)
prawdziwy jest wzór
0
0
0
2
0
0
m
-
1
0
0
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
1
df
(
x
,
x
-
x
)
+
1
d
f
(
x
,
x
-
x
)
+
+
1
d
f
(
x
,
x
-
x
)
+
r
L
m
1
2
(
m
-
1
)!
m
0
0
0
gdzie
r
=
1
d
f
(
x
+
(
x
-
x
),
x
-
x
)
m
m
!
0
0
le
ż
y wewn
ą
trz odcinka o ko
ń
cach
x
0
,
x
Uwaga
: punkt „po
ś
redni”
c
=
x
+
(
x
-
x
)
0
0
x
(
t
)
=
x
+
t
(
x
-
x
)
Dow
. Parametryzujemy odcinek
;
t
Î
[
0
i tworzymy funkcj
ę
jednej zmiennej
j
(
t
)
=
f
(
x
0
+
t
(
x
-
x
0
))
. Mamy wi
ę
c rzeczywist
ą
funkcj
ę
okre
ś
lon
ą
na domkni
ę
tym odcinku
j
2
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam
Ć
miel – cmiel@agh.edu.pl
[
0
spełniaj
ą
c
ą
zało
ż
enia twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej. Stosuj
ą
c do niej wzór
¢
m
-
1
j
(
0
j
(
0
1
j
(
=
j
(
0
+
(
-
0
+
...
+
1
m
-
1
+
j
m
(
q
)
m
Maclaurina otrzymujemy
Û
1
(
m
-
1
)!
m
!
1
1
1
m
-
1
m
Û
j
(
=
j
(
0
)
+
d
j
(
0
+
...
+
d
j
(
0
+
d
j
(
q
,
1
(
m
-
1
)!
m
!
(
)
k
k
k
k
0
0
Ale
d
j
(
t
,
t
)
=
d
f
x
(
t
),
x
(
t
+
t
)
-
x
(
t
)
. St
ą
d
d
j
(
0
=
d
f
(
x
,
x
-
x
)
itd.
0
0
0
0
m
=
2
Szczególny przypadek
x
-
x
0
1
1
1
¶
f
¶
f
f
(
x
,...,
x
)
=
f
(
x
0
1
,...,
x
0
)
+
(
x
0
),...,
(
x
0
)
+
M
1
n
n
1
¶
x
¶
x
1
n
0
x
-
x
n
n
2
2
¶
f
¶
f
~
~
(
x
)
(
x
)
0
1
x
-
x
2
1
¶
x
¶
x
¶
x
1
1
[
]
n
1
0
1
0
+
x
-
x
,...,
x
-
x
O
1
n
n
2
2
2
¶
f
¶
f
~
~
0
x
-
x
(
x
)
(
x
)
n
n
2
¶
x
¶
x
¶
x
1
n
n
Przykład
. Napisa
ć
wzór Taylora dla funkcji
f
(
x
,y)=
e
x
sin
y
w punkcie (0,0) (wzór Maclaurina) dla
m
=4.
e
x
2
3
Odp.
sin
y
=
y
+
xy
+
1
x
y
-
1
y
+
r
4
2
6
Zastosowanie ró
ż
niczki w teorii bł
ę
dów
Dana jest funkcja
f
wielu zmiennych. Wektorowy argument funkcji nie jest znany lecz dysponujemy
D
x
oznacza prawdziw
ą
nieznan
ą
warto
ść
argumentu a
jego pomiarem
x
obarczonym bł
ę
dem Niech
x+
D
x
£
b
nierówno
ść
wektorowa).
bł
ą
d bezwzgl
ę
dny pomiaru (wektorowego) nie przekracza
b
(
n
¶
f
1
=
Wówczas
|
f
(
x
+
x
)
-
f
(
x
)
|
»
|
df
(
x
,
x
)
|
=
|
(
x
)
|
b
.
D
D
i
¶
x
i
i
Wytłumaczenie przybli
ż
onego charakteru wzoru , kiedy to przybli
ż
enie jest „dobre” i jak post
ą
pi
ć
gdy przybli
ż
enia nie jest zadowalaj
ą
ce
.
Przykład
. Oszacowa
ć
metod
ą
ró
ż
niczki zupełnej bł
ą
d jaki popełniamy obliczaj
ą
c obj
ę
to
ść
prostopadło
ś
cianu o kraw
ę
dziach 4.1, 3.2, 8.4 zmierzonych odpowiednio z dokładno
ś
ci
ą
0.1, 0.1,
0.2. Odp. (bł
ą
d bezwzgl
ę
dny
£
8.756, bł
ą
d wzgl
ę
dny 8% (wytłumaczy
ć
jak rozumiemy bł
ą
d
wzgl
ę
dny)
3
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam
Ć
miel – cmiel@agh.edu.pl
Funkcje uwikłane
f
(
x
,
y
)
=
0
2
2
(
a
,
b
)
Przykład 1
.Rozwa
ż
my równanie
np.
x
+
y
-
1
=
0
i niech
spełnia
f
(
x
,
y
)
=
0
,
f
(
a
,
b
)
=
0
czyli
y
(
x
)
f
(
x
,
y
(
x
))
=
0
y
(
a
)
=
b
Pytanie
: Czy dla dowolnego
x
Î
[
-
1
istnieje taki
,
ż
e
i
?
2
Niech (
a
,
b
)=(0,1). Wówczas funkcja
y
(
x
)
=
1
-
x
; -1
£
x
£
1 spełnia powy
ż
sze warunki. Ale spełnia
x
Î
[
-
1
Ç
Q
2
1
-
x
je tak
ż
e funkcja
y
(
x
)
=
. Dokładaj
ą
c warunek ci
ą
gło
ś
ci funkcji
y
(
x
)
x
Î
[
-
1
Ç
(
R
-
Q
)
2
-
1
-
x
eliminujemy ten przypadek.
Je
ż
eli (
a
,
b
)=(1,0), to nie istnieje funkcja
y
(
x
) b
ę
d
ą
ca rozwi
ą
zaniem problemu, ale istnieje funkcja
x
(
y
)
spełniaj
ą
ca warunki zadania.
Powód.
W punkcie (1,0) nie istnieje styczna
Ax
+
By
+
C
=0 daj
ą
ca si
ę
rozwikła
ć
ze wzgl
ę
du na
y
ale
daje si
ę
rozwikła
ć
ze wzgl
ę
du na
x
.
Przykład 2
.
Wersja liniowa twierdzenia o funkcji uwikłanej
T
n
T
m
x
=
(
x
,...,
x
)
Î
R
y
=
(
y
,...,
y
)
Î
R
1
n
1
m
Rozwa
ż
my układ
m
równa
ń
z
n
+
m
niewiadomymi w postaci blokowej
x
[
]
[ ]
A
,
B
=
0
, gdzie
A
jest macierz
ą
o wymiarach (
m
,
n
) a
B
macierz
ą
o wymiarach (
m
,
m
)
y
Załó
ż
my,
ż
e
B
jest macierz
ą
odwracaln
ą
(
det
B
¹
0
). Wówczas
1
-
Ax
+
By
=
0
B
-
1
y
(
x
)
=
-
B
Ax
1
Idea
. Je
ż
eli rozwa
ż
ymy równanie
f
(
x
,
y
)
=
0
z funkcj
ą
f
Î
C
(
f
(
a
,
b
)
=
0
)
, to funkcja ta
Ot
(
a
,
b
)
'
zachowuje si
ę
w tym otoczeniu podobnie do pochodnej
f
(
a
,
b
)
, która jest odwzorowaniem
liniowym. Badanie tego odwzorowania (pochodnej) dostarczy informacji o nieliniowej funkcji
uwikłanej
y
=
g
(
x
)
okre
ś
lonej równaniem
f
(
x
,
y
)=
0
o wykresie le
żą
cym w otoczeniu punktu
(
a
,
b
).
4
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 17 – dr Adam
Ć
miel – cmiel@agh.edu.pl
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
– wersja I
( Prosty dowód Leja F. Rachunek ró
ż
niczkowy i całkowy)
.
Je
ż
eli
¶
f
¶
f
·
funkcja
f
(
x
,
y
) ma ci
ą
gle pochodne cz
ą
stkowe
i
w otoczeniu punktu (
x
0
,
y
0
)
¶
x
¶
y
¶
f
·
f
(
x
0
,
y
0
)=0 i
(
x
,
y
)
¹
0
0
0
¶
y
to
1.
dla ka
ż
dej dostatecznie małej liczby
>0 ,
ż
e ka
ż
dej warto
ś
ci
x
z
e
>0 istnieje taka liczba
d
przedziału (
x
0
-
d
,
x
0
+
d
) odpowiada dokładnie jedno rozwi
ą
zanie
y
(
x
) równania
f
(
x
,
y
)=0 nale
żą
ce
do przedziału (
y
0
-
e
,
y
0
+
e
)
2.
funkcja
y
(
x
) jest ci
ą
gła w przedziale (
x
0
-
d
,
x
0
+
d
) i ma w nim ci
ą
gł
ą
pochodn
ą
wyra
ż
on
ą
wzorem
¶
f
(
x
,
y
)
'
¶
x
y
(
x
)
=
-
, gdzie
y
=
y
(
x
)
¶
f
(
x
,
y
)
¶
y
n
+
m
m
1
E
f
:
R
É
E
®
R
C
Tw
.(
o funkcji uwikłanej
)-wersja II. Je
ż
eli
jest klasy
(E – otwarty),
'
(
a
,
b
)
Î
E
f
(
a
,
b
)
=
[
A
,
A
]
i
f
(
a
,
b
)
=
0
oraz
, gdzie
A
- odwracalna, to istniej
ą
zbiory
x
y
y
n
+
m
n
U
Ì
R
takie,
ż
e
otwarte
i
W
Ì
R
"
$
!
(
x
,
y
)
Î
U
i
f
(
x
,
y
)
=
0
, czyli równanie
x
Î
W
y
n
m
g
:
R
É
W
®
R
f
(
x
,
y
)
=
0
okre
ś
la dokładnie jedn
ą
funkcj
ę
tak
ą
,
ż
e
g
(
a
)
=
b
i
"
Î
f
(
x
,
g
(
x
))
=
0
.
x
W
1
-
1
Ponadto
g
jest klasy
C
i
g
¢
(
a
)
=
-
A
y
A
.
x
y
f
(
x
,
x
,
x
,
y
,
y
)
=
2
e
+
y
x
-
4
x
+
3
1
1
1
2
3
1
2
2
1
2
Np
.
n
=
3
m
=
2
f
:
a
=
(
3
2
7
)
b
=
(
0
f
(
x
,
x
,
x
,
y
,
y
)
=
y
cos
y
-
6
y
+
2
x
-
x
2
1
2
3
1
2
2
1
1
1
3
f
(
a
,
b
)
=
0
! Czy ten układ równa
ń
( równanie wektorowe)
y
f
(
x
,
x
,
x
,
y
,
y
)
=
2
e
+
y
x
-
4
x
+
3
=
0
1
1
1
2
3
1
2
2
1
2
f
(
x
,
x
,
x
,
y
,
y
)
=
y
cos
y
-
6
y
+
2
x
-
x
=
0
2
1
2
3
1
2
2
1
1
1
3
okre
ś
la w otoczeniu punktu
a
funkcje uwikłan
ą
?
1
-
4
0
2
3
Pochodna
f
'
(
a
,
b
)
=
[
A
,
A
]
=
i
det
A
=
20
¹
0
x
y
y
2
0
-
1
-
6
1
Wniosek
. W pewnym otoczeniu punktu (
a
,
b
) równanie
f
(
x
,
y
)
=
0
okre
ś
la w otoczeniu punktu
a
3
2
i
g
:
R
É
W
®
R
funkcj
ę
uwikłan
ą
tak
ą
,
ż
e
g
(
a
)
=
b
1
-
3
1
1
-
3
1
¢
4
5
20
g
(
3
2
7
)
=
-
A
=
x
1
6
1
20
6
2
-
2
5
6
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl