W09 IL aproksymacja cz 2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Metody Numeryczne
Wykad 9
Aproksymacja, cz e s c 2
Iwona Wróbel
wrubelki@wp.pl
Metody Numeryczne IL, Wykad 9
p.1/8
Aproksymacja wielomiano
wa
Funkcja aproksymuj aca ma posta c:
f
(x) =
0
0
(x) +
1
1
(x) + : : : +
n
n
(x);
gdzie
0
;
1
; : : : ;
n
sa funkcjami okreslonymi na przedziale [a; b], do
którego nalez a wszystkie w ezy x
0
; x
1
; : : : ; x
m
, przy czym m n,
Jezeli funkcje
k
s a wielomianami stopnia k (k = 0; 1; : : : ; n), to f
(x)
jest wielomianem stopnia co najwyzej n.
Uwaga.
W przypadku, gdy
k
(x) = x
k
, juz dla nieduzych n (n > 5)
ukad równa n normalnych cz esto jest
zle uwarunkowany
(przez co
rozwi azanie tego ukadu moze by c obarczone duzym b edem).
Dlatego, o ile n nie jest bardzo mae,
nie nalezy stosowac funkcji 1; x; x
2
; : : : ; x
n
.
Nalezy wtedy stosowac
wielomiany Grama
.
Metody Numeryczne IL, Wykad 9
p.2/8
Wielomiany Grama
Uwaga.
Przy aproksymacji wielomianami Grama macierz Grama jest
macierz a diagonaln a.
Niech x
i
= -1 +
2
m
, i = 0; 1; : : : ; m (x
i
s a równoodlegymi punktami z
odcinka [-1; 1]).
Wielomiany Grama fP
k;m
g
k=0
s a ortogonalne wzgl edem iloczynu
skalarnego
m
X
hg; hi =
g(x
i
)h(x
i
);
i=0
a dokadniej
0
i 6= j;
hP
i;m
; P
j;m
i =
1
i = j:
Metody Numeryczne IL, Wykad 9
p.3/8
Wielomiany Grama
Wielomiany Grama speniaj a zalezno sc rekurencyjn a:
P
k+1;m
(x) =
k;m
xP
k;m
(x) -
k;m
P
k-1;m
(x);
gdzie
s
4(k + 1)
2
- 1
m
k + 1
k;m
k;m
=
(m + 1) - (k + 1)
2
;
k;m
=
k-1;m
;
p
P
0;m
(x) =
m + 1;
P
-1;m
(x) = 0:
Uwaga.
Gdy n
p
m, wielomiany Grama maj a podobne wasno sci,
co wielomiany Legendre'a, natomiast dla n
p
m pomi edzy w ezami
x
i
= -1 +
2
m
wyst epuj a bardzo duze oscylacje. Z tej przyczyny przy
aproksymacji wielomianami Grama na w ezach równoodlegych nie
powinno si e stosowa c n wi ekszych niz okoo 2
p
m.
Metody Numeryczne IL, Wykad 9
p.4/8
Aproksymacja trygonome
tryczna
W praktyce czasami warto sci f
i
s a wartosciami pomiarowymi pewnego
zjawiska, o którym wiadomo, ze ma przebieg okresowy.
Wtedy do aproksymacji korzystniej jest stosowa c wielomiany
trygonometryczne:
k
X
f
2k+1
(x) = a
0
+
a
j
sin
(jx) + b
j
cos
(jx)
:
j=1
W tym przypadku n = 2k + 1, a funkcja aproksymuj aca jest kombinacj a
liniow a funkcji f1;
sin
(x);
cos
(x);
sin
(2x);
cos
(2x); : : : ;
sin
(kx);
cos
(kx)g.
Metody Numeryczne IL, Wykad 9
p.5/8
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl