W10 Całka oznaczona

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 10 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
CAŁKA (OZNACZONA) RIEMANNA
Oznaczenia:
f
: [
a
,
b
]→
R
funkcja rzeczywista określona na przedziale domkniętym
Weźmy ciąg
a
=
x
<
x
<
...
<
b
=
x
0
1
n
P
=
{
x
,
x
,...,
x
}
- podział przedziału
na
n
podprzedziałów.
[
a
,
b
]
0
1
n
- średnica przedziału
d
P
(
)
=
max
(
x
−
x
)
k
k
−
1
1
≤
k
≤
n
Wybieramy w każdym podprzedziale punkt pośredni
ξ
∈
[
x
−
,
x
]
;
k
=
1
2
,...,
n
k
k
1
k
Określony jest więc ciąg
{ }
- ciąg punktów pośrednich
ξ
k
k
=
2
,...,
n
Tworzymy sumę
n
∑
=
P
σ
(
f
,
,
{
ξ
})
=
f
(
ξ
)(
x
−
x
1
)
k
k
k
k
−
k
1
Interpretacja
σ
dla nieujemnej funkcji
f
Def
. Liczbę rzeczywistą
I
nazywamy całką Riemanna ( całką oznaczoną) funkcji
f
na przedziale [
a
,
b
]
)
(
jeżeli
∀
∃
∀
∀
d
(
P
)
<
δ
⇒
σ
f
,
P
,
{
ξ
}
−
I
<
ε
.
{}
ε
>
0
δ
>
0
P
ξ
k
k
k
=
1
,
2
,...,
n
Funkcję
f
dla której istnieje całka Riemanna na przedziale [
a
,
b
] nazywamy całkowalną w sensie
Riemanna.
Oznaczenia
:
b
∫
I
=
f
(
x
)
dx
, gdzie
a
- dolna granica,
b
- górna granica,
f
- funkcja podcałkowa
a
ℜ[
a
,b]- zbiór funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na [
a
,
b
]
Powyższy warunek definicyjny przypomina ε-δ definicję granicy w sensie Cauchy’ego, którą mniej
b
n
∑
=
formalnie zapisujemy
∫
I
=
f
(
x
)
dx
=
lim
f
(
ξ
)(
x
−
x
)
. Ponieważ definicji granicy w
k
k
k
−
1
d
(
P
)
→
0
k
1
a
sensie Cauchy’ego odpowiada równoważna ciągowa definicja w sensie Heinego możemy podać
równoważną ciągową definicję całki.
1
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 10 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
Widać, że
d
(
P
)
→
0
⇒
n
→
∞
. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (kontrprzykład)
n
Def
. Ciąg przedziałów nazywamy normalnym jeżeli
n
→
∞
⇒
d
(
P
)
→
0
.
n
Def
. (według Heine’go) Liczbę
I
∈ nazywamy całką Riemanna (oznaczoną) funkcji
f
na przedziale
[
a
,
b
] jeżeli dla każdego normalnego ciągu przedziałów odpowiadający ciąg sum całkowych
(
R
}
n
k
n
σ
f
,
P
,
{
ξ
jest zbieżny do liczby
I
niezależnie od wyboru punktów pośrednich
{
ξ .
}
n
n
Przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna
:

1
x
∈
W
[wymierne]
Funkcja Dirichleta
D
(
x
)
=
nie jest całkowalna na [0,1].
0
x
∈
R
\
W

Uwaga
. Obliczanie całek z definicji jest zadaniem trudnym. Nie wiemy nawet kiedy całka istnieje.
Potrzebujemy więc pewnych warunków koniecznych i wystarczających na istnienie całki.
Szczególnie kłopotliwy jest warunek niezależności granicy od wyboru punktów pośrednich..
Wprowadzimy więc pewne skrajne sumy szacujące od dołu i od góry sumy pośrednie
Sumy Darboux – całka górna i dolna
f
: [
a
,
b
]→
R
,
f
– ograniczona,
P
=
{
x
,
x
,...,
x
}
- podział przedziału [
a
,
b
] na
n
podprzedziałów.
0
1
n
m
=
inf
f
(
x
)
;
M
=
sup
f
(
x
)
;
m
=
inf
f
(
x
)
;
M
=
sup
]
f
(
x
)
k
k
x
∈
[
x
,
x
]
x
∈
[
a
,
b
]
x
∈
[
x
,
x
]
x
∈
[
a
,
b
k
−
1
k
k
−
1
k
Z uwagi na ograniczoność
f
powyższe kresy są skończone.
n
∑
=
P
s
(
f
,
)
=
m
(
x
−
x
1
)
- dolna suma Darboux
k
k
k
−
k
1
n
∑
=
S
(
f
,
P
)
=
M
(
x
−
x
1
)
- górna suma Darboux
k
k
k
−
k
1
∀
P
m
(
b
−
a
)
≤
s
(
f
,
P
)
≤
S
(
f
,
P
)
≤
M
(
b
−
a
)
- obie sumy Darboux są ograniczone .
Ponieważ przy zagęszczaniu podziału suma dolna nie może maleć a suma górna nie może rosnąć
można pokazać, że dla dowolnych podziałów
P
1
i
P
2
s
(
f
,
P
)
≤
S
(
f
,
P
)
. Rzeczywiście Biorąc
1
2
podział
P
3
=
P
1
∪
P
2
będący zagęszczeniem obu podziałów mamy
s
(
f
,
P
)
≤
s
(
f
,
P
)
≤
S
(
f
,
P
)
≤
S
(
f
,
P
)
1
3
3
2
czyli istnieją kresy:
I
=
sup
s
(
f
,
P
)
- dolna całka Darboux
P
I
=
inf
S
(
f
,
P
)
- górna całka Darboux
P
Dla funkcji ograniczonej obie całki zawsze istnieją.
Z powyższych rozważań wynika, że :
2
 Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 10 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
Tw
. Warunkiem koniecznym całkowalności w sensie Riemanna funkcji
f
jest jej ograniczoność
f
f
∈
ℜ
[
a
,
b
]
⇒
- ogr. na [
a
,
b
].
)
(
Rzeczywiście dla danego podziału
P
m
(
b
−
a
)
≤
s
(
f
,
P
)
≤
σ
f
,
P
,
{
ξ
}
≤
S
(
f
,
P
)
≤
M
(
b
−
a
)
k
s
(
f
,
P
=
)
inf
σ
(
f
,
P
,
{
ξ
})
S
(
f
,
P
=
)
sup
σ
(
f
,
P
,
{
ξ
})
k
k
{
ξ
}
{
ξ
}
k
k
}
Ponieważ przez odpowiedni wybór punktów pośrednich można sumę
(
σ
f
,
P
,
{
ξ
uczynić dowolnie
k
bliską sumy dolnej
s
(
f
,
P
)
lub górnej
S
(
f
,
P
)
, które są skończone jedynie wówczas, gdy funkcja jest
ograniczona na przedziale [
a
,
b
]. Ponadto
Tw
. Warunkiem koniecznym i wystarczającym całkowalności funkcji
f
w sensie Riemanna jest z
równość całek górnej i dolnej.
Inaczej
f
∈
ℜ
[
a
,
b
]
⇔
∀
∃
:
S
(
f
,
P
)
−
s
(
f
,
P
)
<
ε
ε
>
0
P
Tw
. Funkcja
f
ciągła
na [
a
,
b
]
jest R-całkowalna
na[
a
,
b
].
Dow
. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła, więc ∀ε ∃δ
∀
x
1
,
x
2
∈[
a
,
b
] : |
x
1
-
x
2
|<δ⇒|
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)|<
ε
. Stąd , dla dowolnego podziału
P
o średnicy mniejszej
b
−
a
n
∑
ε
niżδ
/
2
otrzymujemy
S
(
f
,
P
)-
s
(
f
,
P
)=
(
M
−
m
)(
x
−
x
)
≤
(
b
−
a
)
=
ε
.
k
k
k
k
−
1
b
−
a
k
=
1
Podobnie można udowodnić
Tw
. Funkcja
monotoniczna
na [
a
,
b
]
jest R-całkowalna
na [
a
,
b
].
b
−
a
Dow
. (dla funkcji niemalejącej) Rozważmy podział równomierny
P
=
{
x
=
a
+
i
,
i
=
0
,...,
n
}
i
n
Wówczas
M
k
=
f
(
x
k
),
m
k
=
f
(
x
k
-1
),
i
=1,...,
n
. Wobec tego
n
n
∑
∑
f
(
b
)
−
f
(
a
)
(
f
(
x
)
−
f
(
x
))
(
b
−
a
)
S
(
f
,
P
)-
s
(
f
,
P
)=
(
M
−
m
)(
x
−
x
)
= =
b
−
a
=
<ε
k
k
k
k
−
1
n
k
k
−
1
n
k
=
1
k
=
1
dla dostatecznie dużych
n
.
Tw
.
f
∈ℜ[
a
,
b
] (więc
m
≤
f
≤
M
),
g
:[
m
,
M
]→
R
ciągła ⇒
g
Î
f
∈ℜ[
a
,
b
]. Dowód Rudin str 109
.
Charakteryzacja funkcji całkowalnej w sensie Riemanna
nazywamy pokryciem zbioru
A
U
∞
=
Def
. Rodzinę przedziałów
{
}
(
a
k
b
,
)
⇔
A
⊂
(
a
k
b
,
)
.
k
k
k
=
1
2
,...
k
1
n
Def
. Długością pokrycia nazywamy
∑
=
lim
(
b
−
a
)
(o ile istnieje!).
n
n
n
→
∞
k
1
Def
. Mówimy, że zbiór
A
⊂
R
jest miary (L) zero, jeżeli
∀
ε
istnieje pokrycie tego zbioru o długości
>
0
nie przekraczającej ε.
3
 Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 10 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
Przykład
. Dowolny zbiór przeliczalny
A
={
x
1
,
x
2
,...} ma miarę (L) równą 0. Pokryciem jest rodzina
n
,
i
=1,2,... o długości
∑
=
ε
przedziałów
(
x
−
ε
,
x
+
ε
)
lim
2
=ε
i
i
i
+
1
i
+
1
i
+
1
2
2
2
n
→
∞
k
1
Tw
. Funkcja
f
ograniczona na [
a
,
b
] jest całkowalna w sensie Riemanna (tzn.
f
∈
R
[
a
,
b
]) ⇔ zbiór
punktów nieciągłości funkcji
f
ma miarę zero.

p
1
,
dla
x
=
∈
[
0
1
;
p
,
q
względnie
pierwsze
Przykład
. Funkcja Riemanna
f
(
x
)
=
q
q
mająca punkty

0
,
w
pozostaych
przypadkac
h

nieciągłości w punktach wymiernych przedziału [0,1] jest całkowalna w sensie Riemanna.
Własności funkcji
R
-całkowalnych
Tw
.
Niech
f
,
g
∈ℜ[
a
,
b
], α∈
R
. Wówczas:
b
b
b
a)
f
+
g
∈ℜ [
a
,
b
] i
(
)
∫
∫
∫
f
(
x
)
+
g
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx
a
a
a
b
b
b)
α
f
∈ℜ [
a
,
b
] i
(
)
∫
∫
α
f
(
x
)
dx
=
α
f
(
x
)
dx
a
a
b
b
∫
∫
c)
f
≤ na [
a
,
b
] ⇒
g
f
(
x
)
dx
≤
g
(
x
)
dx
a
a
b
c
b
(
)
∫
∫
∫
d)
a
<
c
<
b
⇒
f
∈
ℜ
[
a
,
c
]
i
f
ℜ
∈
[
c
,
b
]
oraz
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
a
a
c
e)
f
g
∈ℜ[
a
,
b
]
b
b
∫
∫
f)
f
ℜ
∈
[
a
,
b
]
i
f
(
x
)
dx
≤
f
(
x
)
dx
a
a
Punkty a-d są prostymi konsekwencjami definicji całki i własności granic. Ponadto jeżeli
f
∈ℜ[
a
,
b
], to
m
≤
f
(
x
) ≤
M
na przedziale [
a
,
b
] a z punktu (c) otrzymujemy
b
∫
m
(
b
−
a
)
≤
f
(
x
)
dx
≤
M
(
b
−
a
)
a
Ad e)
f
∈ℜ[
a
,
b
]⇒
f
2
∈ℜ[
a
,
b
] ( bo
g
(
t
)=
t
2
jest funkcją ciągłą a
f
całkowalną) a
]
2
2
fg
=
1
[(
f
+
g
)
+
(
f
−
g
)
4
f
∈ℜ[
a
,
b
]⇒|
f
|∈ℜ[
a
,
b
] ( bo
g
(
t
)=|
t
| jest funkcją ciągłą a
f
całkowalną). Ponadto
Ad f)
-
b
b
b
∫
∫
∫
|
f
|≤
f
≤|
f
|, więc z c i b
−
|
f
(
x
)
|
dx
≤
f
(
x
)
dx
≤
|
f
(
x
)
|
dx
, co jest równoważne
a
a
a
b
b
∫
∫
f
(
x
)
dx
≤
f
(
x
)
dx
.
a
a
4
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl