W11

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Definicja
[a, b]
n
n 2 N
P = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
},
a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b
f
[a, b]
P
f
P
k
2 [x
k−1
, x
k
]
1
k
n
X
n
S =
f (
k
)
x
k
,
x
k
= x
k
− x
k−1
.
k=1
3 Przykład
f (x) = 3
[1, 2]
P
n
k
[x
k−1
, x
k
]
X
n
X
n
S =
f (
k
) · (x
k
− x
k−1
) =
3(x
k
− x
k−1
) = 3(x
n
− x
0
) = 3(2 − 1) = 3.
k=1
k=1
f (x) = x
[1, 2]
P
n
k
= x
k−1
P
X
n
X
n
x
k−1
·
2 − 1
n
n
k=1
x
k−1
n
S =
f (x
k−1
) · (x
k
− x
k−1
) =
=
k=1
P
k=1
P
n
k=1
x
0
+ (k − 1) ·
1
n
nx
0
+
1
n
k=1
(k − 1)
n
n
1
n
(0+n−1)n
2
n
=
=
= x
0
+
n
= 1 +
n − 1
2n
.
f (x) = x
[1, 2]
P
n
k
= x
k
X
n
X
n
x
k
·
2 − 1
n
P
k=1
x
k
n
S =
f (x
k
) · (x
k
− x
k−1
) =
=
k=1
P
k=1
n
k=1
x
0
+
k
n
nx
0
+
n
·
(1+n)n
2
= 1 +
n + 1
2n
=
=
.
n
n
4 Definicja
f
[a, b]
f
[a, b]
Z
b
X
n
f (x) dx = lim
δ(P )→0
f (
k
)
x
k
,
a
k=1
2 Definicja
n
1
(P ) = max
1≤k≤n
{
x
k
}
P
k
Z
a
Z
a
Z
b
f (x) dx = 0
f (x) dx = −
f (x) dx
a < b.
a
b
a
5 Przykład
f (x) = x
[1, 2]
P
n
n
n→∞
(P ) = 0.
k
= x
k−1
δ(P)→0
S = lim
lim
n→∞
S = lim
n→∞
1 +
n − 1
2n
= 1 +
1
2
=
3
2
.
k
= x
k
δ(P)→0
S = lim
lim
n→∞
S = lim
n→∞
1 +
n + 1
2n
= 1 +
1
2
=
3
2
.
k
2
3
2
.
x dx =
1
6 Definicja
f
f
7
T
WIERDZENIE
f
[a, b]
8 Przykład
f (x) = x
[1, 2]
f
k
[a, b]
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a),
a
F
f
10 Przykład
F
G
f
C
F (x) = G(x) + C
x
F (b) − F (a) = [G(b) + C] − [G(a) + C] = G(b) + C − G(a) − C = G(b) − G(a).
lim
Z
9
T
WIERDZENIE
11
T
WIERDZENIE
a
b
c
Z
c
Z
b
Z
b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
b
12 Przykład
Z
3
3x
2
dx = x
3
|
1
= 3
3
− 1
3
= 27 − 1 = 26,
Z
1
4
3x
2
dx = x
3
|
3
= 4
3
− 3
3
= 256 − 27 = 229,
Z
3
4
3x
2
dx = x
3
|
1
= 4
3
− 1
3
= 256 − 1 = 255 = 26 + 229.
1
13
T
WIERDZENIE
Z
b
Z
b
Z
b
[f (x) + g(x)]dx =
f (x) dx +
g(x) dx
a
a
a
Z
b
Z
b
[a · f (x)]dx = a ·
f (x) dx.
a
a
14 Przykład
Z
2
x
3
3
2
2
3
3
0
3
3
8
3
(x
2
+ 7)dx =
+ 7x
=
+ 7 · 2 −
− 7 · 0 =
+ 14
0
0
2
0
Z
Z
2
3
3
0
3
3
x
3
3
2
2
=
−
+ 7 · 2 − 7 · 0 =
+ 7x|
0
=
x
2
dx +
7 dx
0
0
15
T
WIERDZENIE
u
v
[a, b]
Z
b
Z
b
u(x)v
′
(x) dx = [u(x)v(x)]
a
−
u
′
(x)v(x) dx.
a
a
16 Przykład
Z
π/2
u = x
v
′
= sin x
u
′
= 1
v = − cos x
Z
π/2
x sin x dx =
= [−x cos x]
π/2
0
+
cos x dx
0
0
= 0 + [sin x]
π/2
0
= 1.
17
T
WIERDZENIE
g
[a, b]
f
[g(a), g(b)]
Z
b
Z
g(b)
f (g(x)) g
′
(x) dx =
f (t) dt.
a
g(a)
18 Przykład
Z
π/2
t = sin x
dt = cos x dx
Z
1
t
3
3
1
1
3
.
sin
2
x cos x dx =
=
t
2
dt =
=
0
0
0
+
19
T
WIERDZENIE
f
[a, b]
g
f
g
[a, b]
Z
b
Z
b
g(x) dx =
f (x) dx.
a
a
20
T
WIERDZENIE
[a, b]
f (x)
0
y = f (x)
X
x = a
x = b
Z
b
f (x dx).
a
21 Przykład
f (x) = x + 1
x = 1
x = 2
x 2 [1, 2]
f (x) > 0
Z
2
x
2
2
2
1
2
2
2
+ 2 −
1
2
2
5
2
.
A =
(x + 1)dx =
+ x
=
− 1 =
1
2
x = 1
3
x = 2
1
(2 + 3) · 1
2
5
2
.
A =
=
22
T
WIERDZENIE
f
g
[a, b]
f (x)
g(x)
x 2 [a, b]
f
g
x = a
x = b
Z
b
P =
[g(x) − f (x)] dx.
a
23 Przykład
24
T
WIERDZENIE
f
[a, b]
x, f (x)
: x 2 [a, b]
Z
b
p
L =
1 + |f
′
(x)|
2
dx.
a
25 Przykład
26
T
WIERDZENIE
f
[a, b]
T
f
OX
x = a
x = b
T
OX
Z
b
V =
f
2
(x) dx,
a
T
OY
Z
b
V = 2
xf (x) dx.
a
27 Przykład
28
T
WIERDZENIE
f
[a, b]
f
OX
Z
b
p
P = 2
f (x)
1 + |f
′
(x)|
2
dx,
a
f
OY
Z
b
p
P = 2
x
1 + |f
′
(x)|
2
dx.
a
29 Przykład
30 Definicja
f
[a, 1)
f
[a, 1)
Z
∞
Z
T
f (x) dx = lim
T →∞
f (x) dx.
a
a
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl