W13

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Definicja
f
(x
0
, y
0
)
O(x
0
, y
0
)
f(x
0
, y
0
) ≤ f(x, y).
(x, y) ∈ O(x
0
, y
0
)
S(x
0
, y
0
)
f
(x
0
, y
0
)
f(x
0
, y
0
) < f(x, y).
(x, y) ∈ S(x
0
, y
0
)
O(x
0
, y
0
)
f
(x
0
, y
0
)
(x, y) ∈ O(x
0
, y
0
)
S(x
0
, y
0
)
f
(x
0
, y
0
)
f(x
0
, y
0
) > f(x, y).
(x, y) ∈ S(x
0
, y
0
)
2
T
WIERDZENIE
(x
0
, y
0
)
f
x
(x
0
, y
0
) = f
y
(x
0
, y
0
) = 0.
+
3 Definicja
4
T
WIERDZENIE
f
(x
0
, y
0
)
W (x
0
, y
0
) =
f
′
xx
(x
0
, y
0
) f
′
xy
(x
0
, y
0
)
f
′
yx
(x
0
, y
0
) f
′
yy
(x
0
, y
0
)
(x
0
, y
0
)
= f
′
xx
(x
0
, y
0
) f
′
yy
(x
0
, y
0
) − f
′
xy
(x
0
, y
0
) f
′
yx
(x
0
, y
0
) > 0,
f
(x
0
, y
0
)
f
′
xx
(x
0
, y
0
) > 0
f
′
xx
(x
0
, y
0
) < 0
f(x
0
, y
0
) ≥ f(x, y).
f
W (x
0
, y
0
) < 0
f
(x
0
, y
0
)
+
W (x
0
, y
0
) = f
′
xx
(x
0
, y
0
) f
′
yy
(x
0
, y
0
) −
f
′
xy
(x
0
, y
0
)
2
+
W (x
0
, y
0
) = 0
f
(x
0
, y
0
)
5 Przykład
f(x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 15x − 12y,
f
x
(x, y) = 3x
2
+ 3y
2
− 15, f
y
(x, y) = 6xy − 12,
f
′
xx
(x, y) = 6x, f
′
xy
(x, y) = 6y, f
′
yx
(x, y) = 6y, f
′
xx
(x, y) = 6x.
8
<
f
x
(x, y) = 0
f
y
(x, y) = 0
3x
2
+ 3y
2
− 15 = 0
6xy − 12 = 0
y=0
⇐⇒
x =
2
y
⇐⇒
2
2
y
2
+ y
2
− 5 = 0
:
4
y
2
+ y
2
− 5 = 0
⇐⇒
y
4
− 5y
2
+ 4 = 0
⇐⇒
(y
2
− 1)(y
2
− 4) = 0
⇐⇒
(y − 1)(y + 1)(y − 2)(y + 2) = 0
⇐⇒
y = 1 ∨ y = −1 ∨ y = 2 ∨ y = −2
f
x
(x, y) = 0
f
y
(x, y) = 0
⇐⇒
x = 2
y = 1
∨
x = −2
y = −1
∨
x = 1
y = 2
∨
x = −1
y = −2
W (x
0
, y
0
)
W (x, y) =
f
′
xx
(x, y) f
′
xy
(x, y)
f
′
yx
(x, y) f
′
yy
(x, y)
(1, 2)
(−1, −2)
(2, 1)
(−2, −1)
=
6x 6y
6y 6x
= 36(x
2
− y
2
),
W (1, 2) < 0,
W (−1, −2) < 0, W (2, 1) > 0, W (−2, −1) > 0.
f
(2, 1)
(−2, −1)
f
′
xx
(2, 1) = 12 > 0, f
′
xx
(−2, −1) = −12 < 0,
f
(2, 1)
f
min
(2, 1) = 8 + 6 − 30 − 12 = −28
6 Definicja
(−2, −1)
f
max
(−2, −1) = −8 − 6 + 30 + 12 = 28
F (x, y) = 0
y = y(x)
F (x, y(x)) = 0
7 Przykład
x
I
x
2
+ y
2
− 1 = 0,
F (x, y) = x
2
+ y
2
− 1
(x
0
, y
0
) = (0, 1)
x ∈
[−1, 1]
y = y(x)
F (x, y(x)) = 0
y(x
0
) = y
0
x
2
+ (y(x))
2
− 1 = 0
y(0) = 1?
y
1
(x) =
1 − x
2
,
x ∈ [−1, 1],
y
2
(x) =
1 − x
2
, x ∈ [−1, 1] ∩ Q
−
1 − x
2
, x ∈ [−1, 1] ∩ (R \ Q).
8
T
WIERDZENIE
(x
0
, y
0
) ∈
(x
0
, y
0
) = (1, 0)
R
2
x = x(y)
y
1
F
y = y(x)
O(x
0
, y
0
)
@F
@x
@F
@y
O(x
0
, y
0
)
@F
@y
F (x
0
, y
0
) = 0
= 0
O(x
0
)
y = y(x)
F (x, y(x)) = 0
x ∈ O(x
0
)
y(x
0
) = y
0
y
′
(x) = −
@
@x
(x, y(x))
@F
@y
(x, y(x))
x ∈ O(x
0
)
9 Przykład
F (x, y) = x
2
+ y
2
− 1
@F
@x
(x, y) = 2x
@F
@y
(x, y) = 2y
R
2
y
= 0
@F
@y
(x, y) = 0
(x
0
, y
0
)
F (x
0
, y
0
) = 0
y
0
= 0
y
(x
0
, y
0
) = (0, 1)
y = y(x)
y(x) =
1 − x
2
y
′
(x) =
√
1
(−2x) =
√
−x
=
y(x)
= −
2x
−x
2y(x)
= −
@
@x
(x, y(x))
@y
(x, y(x))
.
2
1 − x
2
1 − x
2
@F
(x
0
, y
0
) = (1, 0)
x
y
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl