W13, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Definicja f (x 0 , y 0 ) O(x 0 , y 0 ) f(x 0 , y 0 ) ≤ f(x, y). (x, y) ∈ O(x 0 , y 0 ) S(x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) f(x 0 , y 0 ) < f(x, y). (x, y) ∈ S(x 0 , y 0 ) O(x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) (x, y) ∈ O(x 0 , y 0 ) S(x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) f(x 0 , y 0 ) > f(x, y). (x, y) ∈ S(x 0 , y 0 ) 2 T WIERDZENIE (x 0 , y 0 ) f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) = 0. + 3 Definicja 4 T WIERDZENIE f (x 0 , y 0 ) W (x 0 , y 0 ) = f ′ xx (x 0 , y 0 ) f ′ xy (x 0 , y 0 ) f ′ yx (x 0 , y 0 ) f ′ yy (x 0 , y 0 ) (x 0 , y 0 ) = f ′ xx (x 0 , y 0 ) f ′ yy (x 0 , y 0 ) − f ′ xy (x 0 , y 0 ) f ′ yx (x 0 , y 0 ) > 0, f (x 0 , y 0 ) f ′ xx (x 0 , y 0 ) > 0 f ′ xx (x 0 , y 0 ) < 0 f(x 0 , y 0 ) ≥ f(x, y). f W (x 0 , y 0 ) < 0 f (x 0 , y 0 ) + W (x 0 , y 0 ) = f ′ xx (x 0 , y 0 ) f ′ yy (x 0 , y 0 ) − f ′ xy (x 0 , y 0 ) 2 + W (x 0 , y 0 ) = 0 f (x 0 , y 0 ) 5 Przykład f(x, y) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y, f x (x, y) = 3x 2 + 3y 2 − 15, f y (x, y) = 6xy − 12, f ′ xx (x, y) = 6x, f ′ xy (x, y) = 6y, f ′ yx (x, y) = 6y, f ′ xx (x, y) = 6x. 8 < f x (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 3x 2 + 3y 2 − 15 = 0 6xy − 12 = 0 y=0 ⇐⇒ x = 2 y ⇐⇒ 2 2 y 2 + y 2 − 5 = 0 : 4 y 2 + y 2 − 5 = 0 ⇐⇒ y 4 − 5y 2 + 4 = 0 ⇐⇒ (y 2 − 1)(y 2 − 4) = 0 ⇐⇒ (y − 1)(y + 1)(y − 2)(y + 2) = 0 ⇐⇒ y = 1 ∨ y = −1 ∨ y = 2 ∨ y = −2 f x (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 ⇐⇒ x = 2 y = 1 ∨ x = −2 y = −1 ∨ x = 1 y = 2 ∨ x = −1 y = −2 W (x 0 , y 0 ) W (x, y) = f ′ xx (x, y) f ′ xy (x, y) f ′ yx (x, y) f ′ yy (x, y) (1, 2) (−1, −2) (2, 1) (−2, −1) = 6x 6y 6y 6x = 36(x 2 − y 2 ), W (1, 2) < 0, W (−1, −2) < 0, W (2, 1) > 0, W (−2, −1) > 0. f (2, 1) (−2, −1) f ′ xx (2, 1) = 12 > 0, f ′ xx (−2, −1) = −12 < 0, f (2, 1) f min (2, 1) = 8 + 6 − 30 − 12 = −28 6 Definicja (−2, −1) f max (−2, −1) = −8 − 6 + 30 + 12 = 28 F (x, y) = 0 y = y(x) F (x, y(x)) = 0 7 Przykład x I x 2 + y 2 − 1 = 0, F (x, y) = x 2 + y 2 − 1 (x 0 , y 0 ) = (0, 1) x ∈ [−1, 1] y = y(x) F (x, y(x)) = 0 y(x 0 ) = y 0 x 2 + (y(x)) 2 − 1 = 0 y(0) = 1? y 1 (x) = 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1], y 2 (x) = 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1] ∩ Q − 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1] ∩ (R \ Q). 8 T WIERDZENIE (x 0 , y 0 ) ∈ (x 0 , y 0 ) = (1, 0) R 2 x = x(y) y 1 F y = y(x) O(x 0 , y 0 ) @F @x @F @y O(x 0 , y 0 ) @F @y F (x 0 , y 0 ) = 0 = 0 O(x 0 ) y = y(x) F (x, y(x)) = 0 x ∈ O(x 0 ) y(x 0 ) = y 0 y ′ (x) = − @ @x (x, y(x)) @F @y (x, y(x)) x ∈ O(x 0 ) 9 Przykład F (x, y) = x 2 + y 2 − 1 @F @x (x, y) = 2x @F @y (x, y) = 2y R 2 y = 0 @F @y (x, y) = 0 (x 0 , y 0 ) F (x 0 , y 0 ) = 0 y 0 = 0 y (x 0 , y 0 ) = (0, 1) y = y(x) y(x) = 1 − x 2 y ′ (x) = √ 1 (−2x) = √ −x = y(x) = − 2x −x 2y(x) = − @ @x (x, y(x)) @y (x, y(x)) . 2 1 − x 2 1 − x 2 @F (x 0 , y 0 ) = (1, 0) x y [ Pobierz całość w formacie PDF ] |