W1 (2), +Mechanika Techniczna II - Wykład.Ćwiczenia.Laboratorium
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawo Hooke’a. Moduł Younga. Statyczna próba rozciągania (ściskania) Prawo Hooke’a – Doświadczalnie uzasadnione prawo Hooke’a głosi, że w zakresie małych odkształceń ciała zależności między nprężeniami a odpowiadającymi im odkształceniami są liniowe. Prawo Hooke’a dla jednoosiowego stanu naprężenia, zrealizowanego w osiowo rozciąganym pręcie można wyrazić następującymi zależnościami: ε=ζ/E; ε’=-υ(ζ/E), gdzie: ζ-naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta. ε, ε’-odkształcenia liniowe odpowiednio w kierunku wzdłużnym i poprzecznym pręta. E-stała materiałowa zwana współ sprężystości wzdłużnej materiału (Moduł Younga). υ-stała materiałowa zwana współ przewężenia poprzecznego (współ Poissona). Wydłużenie Δl pręta o stałym przekroju o polu A i długości l, rozciąganego stałą siłą osiową P, określa wzór: Δl=Pl/EA, wynikający ze wzoru ε=ζ/E, ponieważ ε= Δl/l; ζ=P/A. Zmianę Δd wymiaru d poprzecznego przekroju pręta rozciąganego osiowo określa wzór: Δd=-υ(Pd/EA), EA- sztywność pręta rozciąganego lub ściskanego. Moduł Younga -stała materiałowa, współ sprężystości wzdłużnej materiału. E=ζ/ε[MPa]. Statyczna próba na rozciąganie : Próbę wykonuje się w celu wyznaczenia wielkości charakteryzujących stan naprężenia i odkształcenia osiowo rozciąganej próbki. Maszyny do przeprowadzania próby nazywane są zrywarkami. Przed próbą mierzy się średnicę d 0 i wyznacza za pomocą poprzecznych rys długość Pomiarową l 0 . Podczas prób y rejestruje się zależność przyrostu długości pomiarowej od siły rozciągającej oraz wyznacza się siłę przy osiąganiu granicy plastyczności i siłę maksymalną. Po zerwaniu próbki mierzy się długość l u odcinka pomiarowego oraz średnicę d u lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Wartość naprężenia ζ w poprzecznym przekroju próbki określa się umownie, jako iloraz siły rozciągającej próbkę i początkowego pola tego przekroju. Wyraźna granica plastyczności : R e =F e /S 0 . Wytrzymałość na rozciąganie: R m =F m /S 0 . Naprężenie rozrywające: R u =F u /S 0 . Względne wydłużnie próbki: A p =(l u -l 0 /l 0 )*100%. Względne przewężenie próbki: z=(S 0 -S u /S o )*100%; gdzie: F e -siła rozciągająca, pod wpływem której następuje wzrost wydłużenia próbki. F m -największa siła osiągnięta w czasie próby rozciągania. F u -siła w chwili rozerwania próbki. S 0 -pole przekroju poprzecznego. S u -pole najmniejszego przekroju poprzecznego próbki po rozerwaniu. Momenty bezwładności figur płaskich. Definicje. Podst związki. Twierdzenie Steinera. Momenty i osie główne i centralne. Twierdzenie Steinera dla figury płaskiej : Moment bezwładności figury płąksiej względem osi równoległej do osi środkowej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem jej osi środkowej, zwiększonemu o iloczyn pola figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami. I s =I x +Sa 2 . Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie. I=I x +I y . Moment statyczny : S x =∫ydA, S y =∫xdA. W zależności od położenia przekroju względem osi układu współrzędnych mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne. S x =y c A, S y =x c A. Współrzędne środka ciężkości: x c =S y /A; y c =S x /A. Środki ciężkości przekrojów złożonych: x c =∑ n i=1 A i x i /∑ n i=1 A i ; y c =∑ n i=1 A i y i /∑ n i=1 A i . A i -pola powierzchni figur płaskich. x i , y i - współ środków ciężkości poszczególnych figur płaskich. Osiowy moment bezwładności : I x =∫y 2 dA; I x =∫x 2 dA. Biegunowy moment bezwładności: I 0 =∫p 2 dA=∫(x 2 +y 2 )dA=I x +I y . Moment dewiacyjny (odśrodkowy) I xy =∫xydA. Momenty osiowe oraz moment biegunowy są zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny. Biegunowy moment bezwładności względem dowolnego pkt równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch do siebie prostopadłych osi przechodzących przez ten pkt. Główne osie bezwładności figury płaskiej w dowolnym pkt to dwie prostopadłe osie względem których jej moment dewiacji jest równy zero, a momenty bezwładności są ekstremalne (główne momenty bezwładności). Główne centralne osie bezwładności danej figury to osie główne poprowadzone przez środek ciężkości tej figury. Momenty bezwładności względem tych osi nazywane są głównymi centralnymi momentami bezwładności. -Jeżeli figura posiada oś symetrii to jest ona jedną z jej głównych osi bezwładności. -Jeżeli figura posiada 2 osie symetrii to są one jej głównymi centralnymi osiami bezwładności. Szczegółowa teoria koła naprężeń Mohra. Koło Mohra – graficzna ilustracja stanu naprężenia. Koło Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń normalnych i stycznych w dowolnym kierunku, a także określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu odkształcenia oraz do określenia momentu bezwładności po obrcie ukł współ, ze wzgl na podobieństwo wzorów matematycznych, które opisują te transformacje. Koło Mohra rysujemy w ukł, w którym oś odciętych odpowiada naprężeniom normalnym ζ a oś rzędnych naprężeniom stycznym η. Wyznaczenie naprężeń i kierunków głównych : -Kreślimy okrąg o środku w pkt o współrzędnych (ζ x +ζ y /2;0) przechodzący przez pkt A(ζ y ;η xy ). -Odczytujemy wartości naprężeń głównych ζ 1 ,ζ 2 . Połowa kąta tworzonego przez środek OA z osią ζ to kąt, pod jakim znajduje się kierunek główny względem kierunku x. Różniczkowe równanie osi zginanej belki. Różniczkowe zależności pomiędzy momentami tnącymi siłą tnącą i obciążeniem ciągłym. W przypadku zginania ukł sił wewn w poprzecznym przekroju pręta sprowadza się do pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju. Moment tej pary sił nazywa się momentem zginającym (gnącym) M g . Momentowi zginającemu może towarzyszyć siła osiowa N i siłą poprzeczna T. Zginanie nazywa się równomiernym , gdy moment zginający nie zmienia się wzdłuż osi pręta. (M g =const), w przeciwnym przypadku występuje zginanie nierównomierne. Moment zginający Mg w ukł płaskich (oś pręta i siły obciążenia leżą w jednej płaszczyźnie) w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem. Siła poprzeczna T w dowolnym przekroju pręta równa się sumie wszystkich równoległych do przekroju składowych sił działających na część oddzieloną tym przekrojem. Moment zginający, siła poprzeczna oraz natężenie q poprzecznego obciążenia ciągłego są związane zależnościami: dM g /dx=T; dT/dx=-q. d 2 M g /dx=-q. Skręcenie pręta kołowo-symetrycznego litego, rurowego. Kąt skręcenia. Naprężenia. Moduł Kirchoffa. Moduł Kirchoffa – (G) moduł odkształcalności postaciowej lub moduł sprężystości poprzecznej-współ uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchoffa jest Paskal [Pa]. G=η/γ. η-naprężenia ścinające. γ-odkształcenia postaciowe. Moduł Kirchoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zalezy od modułu Younga i współ Poissona. G=E/2(1+υ) W przypadku skręcania , układ sił wewn w poprzecznym przekroju pręta sprowadza się do pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju. Moment tej pary nazywa się momentem skręcającym M s . W przekroju skręconego pręta występują naprężenia styczne, w których max wartość: η max =M s /W s [N/m 2 ]. W s -wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie. Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać: η max =M s /W s ≤k s ; k s -naprężenie dopuszczalne na skręcanie. W przypadku obciążeń statycznych materiałów, dla których stosuje się hipotezę Hubera, można przyjmować: k s =0,58k r . Oddalone o ‘l’m przekroje poprzeczne pryzmatycznego pręta w którym występuje stały moment skręcający M s obracają się względem siebie o kąt θ określony wzorem: θ=M s l/GI s [rad]. I s - biegunowy moment bezwładności. GI s -sztywność na skręcanie. Dla kołowego: I s =0,1d 4 . W s =0,2d 3 . η max =M s /W s . Dla pierścieniowego: =d/D. I s =0,1D 4 (1- 4 ). W s =0,2D 3 (1- 4 ). Uogólnione prawo Hooke’a (6 równań+3 równ na deformacje). Liczba Poissona. Związek pomiędzy modulem Younga, Kirchoffa i Liczbą Poissona. Prawo Hooke’a w ogólnym stanie naprężenia materiału izotropowego wyraża się następującymi zależnościami między składowymi stanu naprężenia ζ x , ζ y , ζ z , η xy , η yz , η zx a składowymi stanu odkształcenia ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx . ε x =(1/E)[ζ x -υ(ζ y + ζ z )]. ε y =(1/E)[ζ y -υ(ζ z + ζ x )]. ε z =(1/E)[ζ z - υ(ζ x + ζ y )]. γ xy =η xy /G. W zależności: G=E/2(1+υ) można wyrazić naprężenia przez odkształcenia, co pozwala na obliczenie naprężeń na podstawie wyników pomiarów tensometrycznych. Naprężenia w zależności od odkształcenia w płaskim stanie naprężenia, w przypadku, gdy ζ z =0, η yz =0 i η zx =0 wyrażają się wzorami: ζ x =(E/1- υ 2 )( ε x +υε y ). ζ y =(E/1- υ 2 )( ε y +υε x ). η xy =Gγ xy . Liczba Poissona -symbol υ . Współ różny dla różnych substancji określający ich zachowanie podczas rozciągania. Przy rozciąganiu elementarnej kostki sześciennej w czasie gdy jeden bok ulega wydłużeniu, dwa inne ulegają proporcjonalnemu skróceniu. υ=ε n /ε m -To stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Związek pomiędzy modułem Younga , modułem Kirchoffa i liczbą Poissona: 0≤υ≤0,5. Skręcanie prętów cienkościennych. Założenia teorii technicznej (sztywność konturu). Podst wzory (kąty skręcania, naprężenia). Podać teorię dla pręta o przekroju otwartym lub zamkniętym. Pręt cienkościenny o profilu otwartym: Kontur poprzecznego przekroju jest sztywny. Nie ma oddziaływania pomiędzy prętami. M s =∑ n i=1 M si . Wypadkowy moment skręcający M s jest sumą momentów wypadkowych M si obliczanych dla każdego odrębnego i-tego fragmentu. Wszystkie kąty skręcania są takie same i w ostateczności to jest kąt skręcania pręta. =M s l/GI s . I s =∑ n i=1 I si -geometryczna sztywność pręta jest równa sumie sztywności poszczególnych prętów. I s =(/3)∑b i *δ i 3 .b i -długość. δ i -grubość. =1. W pręcie cienkościennym otwartym max naprężenie występuje w najgrubszym składniku ego pręta. η max =(M s /I s )δ max . Profile zamknięte : Naprężenia styczne od skręcania SA stałe na całej długości. Naprężenia styczne ścianki zmieniają się wzdłuż obwodu. Max naprężenie występuje w najcieńszy miejscu ścinki. η max =M s /2A 0 *δ min . A 0 -pole objęte konturem. θ=M s l/GI s . I s =4A 0 2 /(∫(ds i /δ i )). s i -długość. δ i -grubość. Istota hipotez wytężeniowych. (Szczegółowy opis δ max , τ max . Hipotezy wytężeniowe określają kryte ria, jakie powinien spełniać stan naprężenia ze wzgl na niebezpieczeństwo powstania odkształceń plastycznych lub niebezpieczeństwo utraty spójności (pęknięcie, żłom). Ich celem jest określenie wytężenia jako funcji składowych stanu naprężenia ζ x , ζ y , ζ z , η xy , η yz , η zx lub ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 oraz pewnych parametrów charakteryzujących materiał. W celu oceny wytężenia wprowadza się pojęcie naprężenia zastępczego (sprowadzonego, zredukowanego) ζ red . Jest to naprężenie główne w jednoosiowym stanie naprężenia, przy którym wytężenie materiału jest równe wytężeniu w danym przypadku przestrzennego stanu naprężenia. Jedną z najczęściej stosownych hipotez jest hipoteza energii odkształcenia postaciowego zaproponowana przez Hubera, wg której miarą wytężenia materiału jest wartość właściwej energii odkształcenia postaciowego. Naprężenie zredukowane w ogólnym stanie naprężenia wyraża się wzorem wyprowadzonym przy założeniu, że ciało podlega prawu Hooke’a. ζ red =√(1/2)[(ζ x -ζ y ) 2 +(ζ y -ζ z ) 2 +(ζ z -ζ x ) 2 +3(η xy 2 +η yz 2 +η zx 2 )]. Naprężenie zredukowane w dwuosiowym (płaskim) stanie naprężenia sprowadza się do postaci: ζ red =√ζ x 2 +ζ y 2 -ζ x ζ y +3η xy 2 . Hipoteza Hubera daje na ogół dobrą zgodność z wynikami doświadczeń. Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych jest upewnienie się, że naprężenie zredukowane jest mniejsze od naprężenia dopuszczalnego k. ζ red ≤k. Naprężenie dopuszczalne wyznacza się z zależności: k=ζ nieb /x. x-współ bezpieczeństwa. η max =√((ζ x -ζ y /2) 2 )+ η xy 2 = ζ max -ζ min /2. ζ max =(ζ x +ζ y /2)+√((ζ x - ζ y /2) 2 )+η xy 2 . [ Pobierz całość w formacie PDF ] |