W1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawo Hooke’a. Moduł Younga. Statyczna próba
rozciągania (ściskania)
Prawo Hooke’a
– Doświadczalnie uzasadnione prawo
Hooke’a głosi, że w zakresie małych odkształceń ciała
zależności między nprężeniami a odpowiadającymi im
odkształceniami są liniowe. Prawo Hooke’a dla jednoosiowego
stanu naprężenia, zrealizowanego w osiowo rozciąganym
pręcie można wyrazić następującymi zależnościami: ε=ζ/E;
ε’=-υ(ζ/E), gdzie: ζ-naprężenia normalne w poprzecznym
przekroju pręta. ε, ε’-odkształcenia liniowe odpowiednio w
kierunku wzdłużnym i poprzecznym pręta. E-stała materiałowa
zwana współ sprężystości wzdłużnej materiału (Moduł
Younga). υ-stała materiałowa zwana współ przewężenia
poprzecznego (współ Poissona).
Wydłużenie Δl
pręta o stałym przekroju o polu A i długości l,
rozciąganego stałą siłą osiową P, określa wzór: Δl=Pl/EA,
wynikający ze wzoru ε=ζ/E, ponieważ ε= Δl/l; ζ=P/A.
Zmianę Δd
wymiaru d poprzecznego przekroju pręta
rozciąganego osiowo określa wzór: Δd=-υ(Pd/EA), EA-
sztywność pręta rozciąganego lub ściskanego.
Moduł Younga
-stała materiałowa, współ sprężystości
wzdłużnej materiału. E=ζ/ε[MPa].
Statyczna próba na rozciąganie
: Próbę wykonuje się w celu
wyznaczenia wielkości charakteryzujących stan naprężenia i
odkształcenia osiowo rozciąganej próbki. Maszyny do
przeprowadzania próby nazywane są zrywarkami. Przed próbą
mierzy się średnicę d
0
i wyznacza za pomocą poprzecznych rys
długość Pomiarową l
0
. Podczas prób y rejestruje się zależność
przyrostu długości pomiarowej od siły rozciągającej oraz
wyznacza się siłę przy osiąganiu granicy plastyczności i siłę
maksymalną. Po zerwaniu próbki mierzy się długość l
u
odcinka
pomiarowego oraz średnicę d
u
lokalnego przewężenia zwanego
szyjką. Wartość naprężenia ζ w poprzecznym przekroju próbki
określa się umownie, jako iloraz siły rozciągającej próbkę i
początkowego pola tego przekroju.
Wyraźna granica plastyczności
: R
e
=F
e
/S
0
. Wytrzymałość na
rozciąganie: R
m
=F
m
/S
0
. Naprężenie rozrywające: R
u
=F
u
/S
0
.
Względne wydłużnie próbki: A
p
=(l
u
-l
0
/l
0
)*100%. Względne
przewężenie próbki: z=(S
0
-S
u
/S
o
)*100%; gdzie: F
e
-siła
rozciągająca, pod wpływem której następuje wzrost
wydłużenia próbki. F
m
-największa siła osiągnięta w czasie
próby rozciągania. F
u
-siła w chwili rozerwania próbki. S
0
-pole
przekroju poprzecznego. S
u
-pole najmniejszego przekroju
poprzecznego próbki po rozerwaniu.
Momenty bezwładności figur płaskich. Definicje. Podst
związki. Twierdzenie Steinera. Momenty i osie główne i
centralne.
Twierdzenie Steinera dla figury płaskiej
: Moment
bezwładności figury płąksiej względem osi równoległej do osi
środkowej jest równy momentowi bezwładności tej figury
względem jej osi środkowej, zwiększonemu o iloczyn pola
figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami. I
s
=I
x
+Sa
2
.
Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi
prostopadłej do jego płaszczyzny równa się sumie momentów
bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych,
leżących w jego płaszczyźnie. I=I
x
+I
y
.
Moment statyczny
: S
x
=∫ydA, S
y
=∫xdA. W zależności od
położenia przekroju względem osi układu współrzędnych mogą
przyjmować wartości dodatnie i ujemne. S
x
=y
c
A, S
y
=x
c
A.
Współrzędne środka ciężkości: x
c
=S
y
/A; y
c
=S
x
/A. Środki
ciężkości przekrojów złożonych: x
c
=∑
n
i=1
A
i
x
i
/∑
n
i=1
A
i
;
y
c
=∑
n
i=1
A
i
y
i
/∑
n
i=1
A
i
. A
i
-pola powierzchni figur płaskich. x
i
, y
i
-
współ środków ciężkości poszczególnych figur płaskich.
Osiowy moment bezwładności
: I
x
=∫y
2
dA; I
x
=∫x
2
dA.
Biegunowy moment bezwładności: I
0
=∫p
2
dA=∫(x
2
+y
2
)dA=I
x
+I
y
.
Moment dewiacyjny (odśrodkowy) I
xy
=∫xydA.
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są zawsze dodatnie,
natomiast moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny.
Biegunowy moment bezwładności
względem dowolnego pkt
równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch do
siebie prostopadłych osi przechodzących przez ten pkt.
Główne osie bezwładności
figury płaskiej w dowolnym pkt to
dwie prostopadłe osie względem których jej moment dewiacji
jest równy zero, a momenty bezwładności są ekstremalne
(główne momenty bezwładności).
Główne centralne osie bezwładności danej figury to osie
główne poprowadzone przez środek ciężkości tej figury.
Momenty bezwładności względem
tych osi nazywane są
głównymi centralnymi momentami bezwładności.
-Jeżeli figura posiada oś symetrii to jest ona jedną z jej
głównych osi bezwładności.
-Jeżeli figura posiada 2 osie symetrii to są one jej głównymi
centralnymi osiami bezwładności.
Szczegółowa teoria koła naprężeń Mohra.
Koło Mohra
– graficzna ilustracja stanu naprężenia. Koło
Mohra pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń
normalnych i stycznych w dowolnym kierunku, a także
określić naprężenia główne i kierunki główne. Koło Mohra
wykorzystuje się także w transformacji płaskiego stanu
odkształcenia oraz do określenia momentu bezwładności po
obrcie ukł współ, ze wzgl na podobieństwo wzorów
matematycznych, które opisują te transformacje. Koło Mohra
rysujemy w ukł, w którym oś odciętych odpowiada
naprężeniom normalnym ζ a oś rzędnych naprężeniom
stycznym η.
Wyznaczenie naprężeń i kierunków głównych
:
-Kreślimy okrąg o środku w pkt o współrzędnych (ζ
x
+ζ
y
/2;0)
przechodzący przez pkt A(ζ
y
;η
xy
).
-Odczytujemy wartości naprężeń głównych ζ
1
,ζ
2
. Połowa kąta
tworzonego przez środek OA z osią ζ to kąt, pod jakim
znajduje się kierunek główny względem kierunku x.
Różniczkowe równanie osi zginanej belki. Różniczkowe
zależności pomiędzy momentami tnącymi siłą tnącą i
obciążeniem ciągłym.
W przypadku zginania
ukł sił wewn w poprzecznym
przekroju pręta sprowadza się do pary sił leżącej w
płaszczyźnie prostopadłej do przekroju. Moment tej pary sił
nazywa się momentem zginającym (gnącym) M
g
. Momentowi
zginającemu może towarzyszyć siła osiowa N i siłą poprzeczna
T.
Zginanie nazywa się równomiernym
, gdy moment zginający
nie zmienia się wzdłuż osi pręta. (M
g
=const), w przeciwnym
przypadku występuje zginanie nierównomierne.
Moment zginający Mg
w ukł płaskich (oś pręta i siły
obciążenia leżą w jednej płaszczyźnie) w dowolnym przekroju
pręta jest równy sumie momentów względem środka przekroju
wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną tym
przekrojem.
Siła poprzeczna T
w dowolnym przekroju pręta równa się
sumie wszystkich równoległych do przekroju składowych sił
działających na część oddzieloną tym przekrojem.
Moment zginający,
siła poprzeczna oraz natężenie
q
poprzecznego obciążenia ciągłego są związane zależnościami:
dM
g
/dx=T; dT/dx=-q. d
2
M
g
/dx=-q.
Skręcenie pręta kołowo-symetrycznego litego, rurowego.
Kąt skręcenia. Naprężenia. Moduł Kirchoffa.
Moduł Kirchoffa
– (G) moduł odkształcalności postaciowej
lub moduł sprężystości poprzecznej-współ uzależniający
odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia jakie w nim
występuje. Jednostką modułu Kirchoffa jest Paskal [Pa]. G=η/γ.
η-naprężenia ścinające. γ-odkształcenia postaciowe.
Moduł Kirchoffa
dla materiałów izotropowych bezpośrednio
zalezy od modułu Younga i współ Poissona. G=E/2(1+υ)
W przypadku skręcania
, układ sił wewn w poprzecznym
przekroju pręta sprowadza się do pary sił leżącej w
płaszczyźnie przekroju.
Moment tej pary nazywa
się momentem skręcającym M
s
. W
przekroju skręconego pręta występują naprężenia styczne, w
których max wartość: η
max
=M
s
/W
s
[N/m
2
]. W
s
-wskaźnik
wytrzymałości przekroju na skręcanie.
Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać:
η
max
=M
s
/W
s
≤k
s
; k
s
-naprężenie dopuszczalne na skręcanie.
W przypadku obciążeń statycznych materiałów, dla których
stosuje się hipotezę Hubera, można przyjmować: k
s
=0,58k
r
.
Oddalone o ‘l’m
przekroje poprzeczne pryzmatycznego pręta
w którym występuje stały moment skręcający M
s
obracają się
względem siebie o kąt θ określony wzorem: θ=M
s
l/GI
s
[rad]. I
s
-
biegunowy moment bezwładności. GI
s
-sztywność na skręcanie.
Dla kołowego: I
s
=0,1d
4
. W
s
=0,2d
3
. η
max
=M
s
/W
s
. Dla
pierścieniowego: =d/D. I
s
=0,1D
4
(1-
4
). W
s
=0,2D
3
(1-
4
).
Uogólnione prawo Hooke’a (6 równań+3 równ na
deformacje). Liczba Poissona. Związek pomiędzy modulem
Younga, Kirchoffa i Liczbą Poissona.
Prawo Hooke’a w ogólnym
stanie naprężenia materiału
izotropowego wyraża się następującymi zależnościami między
składowymi stanu naprężenia ζ
x
, ζ
y
, ζ
z
, η
xy
, η
yz
, η
zx
a
składowymi stanu odkształcenia ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
.
ε
x
=(1/E)[ζ
x
-υ(ζ
y
+ ζ
z
)]. ε
y
=(1/E)[ζ
y
-υ(ζ
z
+ ζ
x
)]. ε
z
=(1/E)[ζ
z
-
υ(ζ
x
+ ζ
y
)]. γ
xy
=η
xy
/G. W zależności: G=E/2(1+υ) można
wyrazić naprężenia przez odkształcenia, co pozwala na
obliczenie naprężeń na podstawie wyników pomiarów
tensometrycznych.
Naprężenia w zależności
od odkształcenia w płaskim stanie
naprężenia, w przypadku, gdy ζ
z
=0, η
yz
=0 i η
zx
=0 wyrażają się
wzorami: ζ
x
=(E/1- υ
2
)( ε
x
+υε
y
). ζ
y
=(E/1- υ
2
)( ε
y
+υε
x
). η
xy
=Gγ
xy
.
Liczba Poissona
-symbol υ
.
Współ różny dla różnych substancji
określający ich zachowanie podczas rozciągania. Przy
rozciąganiu elementarnej kostki sześciennej w czasie gdy jeden
bok ulega wydłużeniu, dwa inne ulegają proporcjonalnemu
skróceniu. υ=ε
n
/ε
m
-To stosunek odkształcenia poprzecznego do
odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia.
Związek pomiędzy modułem
Younga
, modułem Kirchoffa i
liczbą Poissona: 0≤υ≤0,5.
Skręcanie prętów cienkościennych. Założenia teorii
technicznej (sztywność konturu). Podst wzory (kąty
skręcania, naprężenia). Podać teorię dla pręta o przekroju
otwartym lub zamkniętym.
Pręt cienkościenny o profilu otwartym:
Kontur
poprzecznego przekroju jest sztywny. Nie ma oddziaływania
pomiędzy prętami. M
s
=∑
n
i=1
M
si
. Wypadkowy moment
skręcający M
s
jest sumą momentów wypadkowych M
si
obliczanych dla każdego odrębnego i-tego fragmentu.
Wszystkie kąty
skręcania są takie same i w ostateczności to
jest kąt skręcania pręta. =M
s
l/GI
s
. I
s
=∑
n
i=1
I
si
-geometryczna
sztywność pręta jest równa sumie sztywności poszczególnych
prętów. I
s
=(/3)∑b
i
*δ
i
3
.b
i
-długość. δ
i
-grubość. =1.
W pręcie cienkościennym
otwartym max naprężenie
występuje w najgrubszym składniku ego pręta. η
max
=(M
s
/I
s
)δ
max
.
Profile zamknięte
: Naprężenia styczne od skręcania SA stałe
na całej długości. Naprężenia styczne ścianki zmieniają się
wzdłuż obwodu. Max naprężenie występuje w najcieńszy
miejscu ścinki. η
max
=M
s
/2A
0
*δ
min
. A
0
-pole objęte konturem.
θ=M
s
l/GI
s
. I
s
=4A
0
2
/(∫(ds
i
/δ
i
)). s
i
-długość. δ
i
-grubość.
Istota hipotez wytężeniowych. (Szczegółowy opis δ
max
, τ
max
.
Hipotezy wytężeniowe określają kryte
ria, jakie powinien
spełniać stan naprężenia ze wzgl na niebezpieczeństwo
powstania odkształceń plastycznych lub niebezpieczeństwo
utraty spójności (pęknięcie, żłom). Ich celem jest określenie
wytężenia jako funcji składowych stanu naprężenia ζ
x
, ζ
y
, ζ
z
,
η
xy
, η
yz
, η
zx
lub ζ
1
, ζ
2
, ζ
3
oraz pewnych parametrów
charakteryzujących materiał.
W celu oceny wytężenia
wprowadza się pojęcie naprężenia
zastępczego (sprowadzonego, zredukowanego) ζ
red
. Jest to
naprężenie główne w jednoosiowym stanie naprężenia, przy
którym wytężenie materiału jest równe wytężeniu w danym
przypadku przestrzennego stanu naprężenia.
Jedną z najczęściej stosownych
hipotez jest hipoteza energii
odkształcenia postaciowego zaproponowana przez Hubera, wg
której miarą wytężenia materiału jest wartość właściwej energii
odkształcenia postaciowego. Naprężenie zredukowane w
ogólnym stanie naprężenia wyraża się wzorem
wyprowadzonym przy założeniu, że ciało podlega prawu
Hooke’a.
ζ
red
=√(1/2)[(ζ
x
-ζ
y
)
2
+(ζ
y
-ζ
z
)
2
+(ζ
z
-ζ
x
)
2
+3(η
xy
2
+η
yz
2
+η
zx
2
)].
Naprężenie zredukowane
w dwuosiowym (płaskim) stanie
naprężenia sprowadza się do postaci:
ζ
red
=√ζ
x
2
+ζ
y
2
-ζ
x
ζ
y
+3η
xy
2
.
Hipoteza Hubera daje na ogół dobrą
zgodność z wynikami
doświadczeń. Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych jest
upewnienie się, że naprężenie zredukowane jest mniejsze od
naprężenia dopuszczalnego k. ζ
red
≤k. Naprężenie dopuszczalne
wyznacza się z zależności: k=ζ
nieb
/x. x-współ bezpieczeństwa.
η
max
=√((ζ
x
-ζ
y
/2)
2
)+ η
xy
2
= ζ
max
-ζ
min
/2. ζ
max
=(ζ
x
+ζ
y
/2)+√((ζ
x
-
ζ
y
/2)
2
)+η
xy
2
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl