W12

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Definicja
R
2
= {(x, y) : x, y
∈
R
} .
2 Definicja
r
P = (a, b)
O(P ) = {(x, y) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
< r}.
r
P = (a, b)
S(P ) = O(P ) \ {P }
3 Definicja
f
A ⊆
R
2
R
A
f : A →
R
z = f (x, y)
(x, y) ∈ A
f
(x, y)
f (x, y)
A
D(f )
4 Przykład
f :
R
×
R
→
R
:
0
y
≤
x
f (x, y) =
1
2
(y − x)
y > x
g :
R
×
R
→ {−1, 0, 1}
8
<
1
x
y
g(x, y) =
:
0
x
y
−1
h :
R
×
R
→
R
h(x, y) = y(x
2
− 1)
+
√
f (x, y) =
xy
D(f ) =
{(x, y)
∈
R
2
: (x
≥
0
y
≥
0)
(x
≤
0
y
≤ 0)}
5 Definicja
z = f (x, y)
f
R
3
{(x, y, z) : (x, y) ∈
D(f ), z = f (x, y)}.
+
8
<
6 Definicja
(x
0
, y
0
)
(x
0
, y
0
)
z
0
(x, y)
(x
0
, y
0
)
ǫ > 0
δ > 0
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
<
δ
|f (x, y) − z
0
| < ǫ
(x
0
, y
0
)
7 Przykład
8
<
:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
, (x, y) = (0, 0),
0,
f (x, y) =
(x, y) = (0, 0).
(0, 0)
0
ǫ > 0
(x, y) = (0, 0)
x
3
+ y
3
|f (x, y) − 0|
< ǫ
⇐⇒
x
2
+ y
2
− 0
< ǫ
⇐⇒
x
3
+ y
3
< ǫ (x
2
+ y
2
)
⇐= |x
3
|
< ǫ x
2
∧ |y
3
|
< ǫ y
2
⇐⇒ |x|
< ǫ ∧ |y| < ǫ
⇐=
x
2
+ y
2
< ǫ.
δ = ǫ
:
x
2
− y
2
f (x, y) =
x
2
+ y
2
, (x, y) = (0, 0),
0,
(x, y) = (0, 0).
f (x, y) = 0
δ > 0
(0, 0)
(x, y) = (a, 0)
a
(x, y) = (a, a)
a
= 0
f (x, y) = 1
= 0
1
1
3
0
z
0
|f (x, y) − z
0
| <
8 Definicja
P :
N
→
R
2
n
n
P
n
= (x
n
, y
n
)
(P
n
)
((x
n
, y
n
))
9 Definicja
(P
n
) = ((x
n
, y
n
))
P
0
= (x
0
, y
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
lim
n→∞
y
n
= y
0
.
lim
n→∞
P
n
= P
0
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
).
10 Przykład
1, 1 +
(−1)
n
n
(1, 1)
(1, 1 + (−1)
n
)
+
8
<
δ
(0, 0)
11 Definicja
(x
0
, y
0
)
∈
R
2
f
S(x
0
, y
0
)
z
0
f
(x
0
, y
0
)
((x
n
, y
n
)) ⊆
S(x
0
, y
0
)
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
) =⇒
lim
n→∞
f (x
n
, y
n
) = z
0
.
(x,y)→(x
0
,y
0
)
= z
0
.
lim
+
12 Przykład
:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
, (x, y) = (0, 0),
0,
f (x, y) =
(x, y) = (0, 0).
(0, 0)
x
n
x
n
−→ 0
(0, 0)
0
−→ 0 =⇒
((x
n
, y
n
))
−→ 0
∧
y
n
x
n
+ y
n
−→ 0
=⇒
x
n
+ y
n
x
n
+ y
n
−→ 0
⇐⇒
f (x
n
, y
n
) −→ 0.
<
:
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
, (x, y) = (0, 0),
0,
f (x, y) =
(x, y) = (0, 0).
(0, 0)
(x
n
, y
n
) =
1
n
,
1
n
(0, 0)
lim
n→∞
f
1
n
,
1
n
= lim
n→∞
0 = 0.
(x
n
, y
n
) =
1
n
, 0
lim
n→∞
f
1
n
, 0
= lim
n→∞
1 = 1 = 0.
13 Definicja
M
(x
0
, y
0
)
8
<
∧
y
n
y
n
x
n
x
n
+ y
n
14 Definicja
15
T
WIERDZENIE
+
16 Definicja
(x
0
, y
0
)
lim
x→0
f (x
0
+
x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
x
.
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)
f
x
(x
0
, y
0
)
f
x
(x
0
, y
0
)
(x
0
, y
0
)
lim
y→0
f (x
0
, y
0
+
y) − f (x
0
, y
0
)
y
.
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)
f
y
(x
0
, y
0
)
f
y
(x
0
, y
0
)
+
x
y
+
y
x
17 Przykład
x
2
+ y
2
= r
2
cos φ = x/r
tg φ = y/x
:
1
r
sin 2φ, r
= 0
f (r, φ) =
0,
r = 0
r = 0
φ =
π
4
r→0
f
r,
π
4
= lim
r→0
r
sin
π
= lim
r→0
1
r
= ∞.
2
x
y = 0
φ =
π
2
φ =
3π
2
sin 2φ = 0
f (x, 0) = 0
f
x
(0, 0) = 0
y
f (x, y) =
|y|
R
2
f
x
(1, 0) = 0
y
<
1
lim
+
18
T
WIERDZENIE
∂(f + g)
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) +
∂g
∂x
(x
0
, y
0
),
∂(f
− g)
∂x
∂x
(x
0
, y
0
) −
∂g
(x
0
, y
0
) =
∂x
(x
0
, y
0
),
∂(f g)
∂x
∂x
(x
0
, y
0
) g(x
0
, y
0
) + f (x
0
, y
0
)
∂g
(x
0
, y
0
) =
∂x
(x
0
, y
0
),
∂(f /g)
∂x
@x
(x
0
, y
0
) g(x
0
, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
@g
@x
(x
0
, y
0
)
(x
0
, y
0
) =
.
g
2
(x
0
, y
0
)
19 Definicja
D
⊆
R
2
f
(x, y) →
∂f
∂x
(x, y)
(x, y) →
∂f
∂y
,
(x, y)
∈
D
f
D
∂f
∂x
∂f
∂y
f
x
f
y
f
x
f
y
20 Przykład
f (x, y) = x
2
y
3
− x sin y
∂f
∂x
(x, y) = 2xy
3
− sin y,
∂f
∂y
(x, y) = 3x
2
y
2
− x cos y.
g(x, y) = x
5
y
10
− x
3
sin y + y
2
e
x
∂x
(x, y) = 5x
4
y
10
− 3x
2
sin y + y
2
e
x
,
∂y
(x, y) = 10x
5
y
9
− x
3
cos y + 2ye
x
.
+
R
n
n
21 Przykład
f (x, y, z) = x
2
y
3
z
4
− y sin z
g(x, y, z) = x
5
y
10
z − z sin y + y
2
e
z
∂f
∂f
@f
∂g
∂g
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

diabelki.xlx.pl