W 04 Opadanie i fluidyzacja, PWR, Chemia, Inżynieria chemiczna, Skrzypiński wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawy inżynierii chemicznej Wojciech Skrzypiński Opadanie cząstek w płynie Pojedyncza cząstka opadająca w płynie ruchem jednostajnym podlega działaniu trzech sił równoważących się, tj. sile ciężkości, sile wyporu i sile oporu: Siła ciężkości 3 p d G g s 6 Siła wyporu 3 p d W g 6 Siła oporu 2 p d w 2 R op 4 2 Bilans sił można zapisać jako: G R d 3 p d 3 p d 2 p 2 w g g s op 6 6 4 2 skąd można obliczyć prędkość opadania cząstek kulistych w płynie: 4 d g p 3 s w op lub średnicę opadającej cząstki kulistej: 2 3 w op d 4 g s Zastosowanie obu tych równań do obliczeń jest utrudnione, ze względu na występowanie współczynnika oporu kształtu o , który jest wielkością zmienną i zależną od liczby Reynoldsa cząstki, definiowanej zależnością: w d p Re gdzie właściwości odnoszą się do ośrodka, w którym odbywa się ruch. Doświadczalnie stwierdzono, że cząstki mogą poruszać się w sposób laminarny, przejściowy i burzliwy. Dla tych obszarów ruchu obowiązują specyficzne zależności po zwalające obliczać współczynnik oporu kształtu: Obszar ruchu laminarnego, Obszar Stokesa 24 Re 0 op Re Obszar ruchu przejściowego, Obszar Allena 18 , 0 Re 500 op 0 , 6 Re Obszar ruchu burzliwego, Obszar Newtona op 0 44 Re 500 Na wykresie w skali podwójnie logarytmicznej zależność ta, dla wszystkich trzech obszarów pokazana jest na poniższym rysunku: 43 Podstawy inżynierii chemicznej Wojciech Skrzypiński 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 Re Jeśli do zależności określającej siłę oporu działającej na cząstkę wstawić zależność dla ruchu laminarnego, to otrzymuje się wzór: 2 p d 2 24 w R 3 d w p w d 4 2 p znany jako równanie Stokesa . Po wykorzystaniu tego równania do bilansu sił i jego przekształceniu otrzymuje się: d 2 p g s w 18 Postępując analogicznie w obszarze Allena uzyskuje się zależności: d 2 p 0 , 6 2 18 , w 18 , 1 p 4 0 , 6 1 4 0 , 4 R d w 0 , 6 0 p , 6 0 , 6 w d 4 2 8 1 6 1 1 1 d 1 4 g 4 4 4 4 p s w 0 , 6 0 , 4 3 18 , 1 4 1 4 2857 1 p 143 0 , 714 d s w 0 781 0 , 4286 0 , Natomiast w obszarze Newtona uzyskuje się: 2 p d 2 w R 0 44 4 2 44 Podstawy inżynierii chemicznej Wojciech Skrzypiński d g 4 p s w 3 0 44 d p s w 5 452 Wzory ujęte w ramki pokazują, że prędkość opadania różnie zależy od średnicy cząstki. W obszarze Stokesa jest proporcjonalna do 2 d , w obszarze Allena do p d , a w obszarze 1 143 Newtona do 5 0 , p d . W postaci wykreślnej zależność ta przedstawiona jest na poniższym rysunku Obszar Stokesa Obszar Allena Obszar Newtona d Przedstawione powyżej równania są niewygodne do obliczeń projektowych, bo gdy trzeba obliczyć prędkość lub gdy trzeba obliczyć średnicę opadającej cząstki, to równocześnie trzeba znać obszar ruchu, w którym odbywa się opadanie. Zatem obliczenia można wykonać jedynie zakładając ten obszar i po wykonaniu obliczeń sprawdzić poprawność założenia (obliczyć wartość liczby Reynoldsa). Innym sposobem przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy jest następujące podejście. Z równania bilansowego: 3 p 3 p 2 p d d d 2 w g g s op 6 6 4 2 wynika, że: d g 4 p s op 2 3 w 2 Mnożąc obie strony równania przez Re otrzymuje się: 3 p d g 4 2 s Re op 2 3 Zdefiniujmy bezwymiarową wielkość: 3 p d g s Ar 2 jako liczbę Archimedesa. Zatem na pods tawie dwóch po wyższych zależności uzyskuje się wzór: 3 2 Re Ar op 4 45 Podstawy inżynierii chemicznej Wojciech Skrzypiński Zauważmy, że do obliczenia wartości liczby Archimedesa nie jest konieczna znajomość prędkości opadania cząstki. W obszarze Stokesa graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 0,5, a współczynnik 24 oporu kształtu wynosi: . Po podstawieniu do zależności w ramce uzyskuje się graniczną op Re wartość liczby Archimedesa: 3 24 2 Ar 0 9 4 0 Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Stokesa wynosi: 3 24 2 Re Ar 4 Re 18 Re Ar Ar Re 18 W obszarze Newtona najmniejsza graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 500, a współczynnik oporu opadania wynosi 0,44, zatem: 3 Ar 0 44 500 2 82500 4 Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Newtona wynosi: 3 2 0 44 Re Ar 4 Re 1 7408 Ar Obszar Allena zawarty jest zatem w zakresie , a współczynnik oporu A9 82500 18 , opadania wynosi: , zatem: op 0 , 6 Re 3 18 , 2 Re Ar 0 , 6 4 Re po przekształceniach otrzymuje się: 1 0 , 714 Ar 4 Ar Re 13 , 875 13 , 875 Zestawienie powyższych przekształceń pokazano w tabeli: Obszar ruchu Zakres liczb Reynoldsa Zakres liczb Archimedesa Re vs Ar Ar Re Re 0 Ar 9 Stokesa 18 1 0 , 714 Ar 4 Ar 0 Re 500 A9 82500 Allena Re 13 , 875 13 , 8 75 Newtona Re 500 Re 82500 500 Ar Re 1 7408 Ar Reasumując, przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy wygodnie jest korzystać z liczby Archimedesa, natomiast przy obliczaniu średnicy cząstki o znanej prędkości opadania obliczenia należy wykonać metodą prób i błędów. Przedstawione powyżej rozważania dotyczą cząstek o kształcie kulistym. Dla cząstek o kształcie odbiegającym od kuli prędkość opadania należy skorygować za pomocą odwrotności współczynnika kształtu czyli współczynnika sferyczności. Przykładowo w obszarze Stokesa współczynnik oporu kształtu oblicza się z zależności: a , op Re 46 Podstawy inżynierii chemicznej Wojciech Skrzypiński 24 gdzie wielkość a , 0 843 log 0 065 a zatem prędkość opadania oblicza się z zależności: 2 z d g w s 0 843 log 18 0 065 Z kolei w obszarze Newtona współczynnik oporu kształtu przedstawia zależność: 5 31 4 87 op a prędkość opada nia liczy się z zależności: d g d 4 5 0 , p s p s w 3 617 5 31 4 87 3 5 31 4 87 Dla obszaru Allena nie ma jednej zależności na obliczanie prędkości opadania, gdyż współczynnik oporu kształtu zależy nie tylko od sferyczności, ale także od wartości liczby Reynoldsa. Współczynnik sferyczności występujący w powyższych równaniach określa stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni cząstki przy takiej samej objętości, zatem jest to liczba mniejsza od 1. Przykładowe wartości dla wybranych brył podano poniżej. Bryła Współczynnik sferyczności Kula 1 Sześcian 0,806 Graniastosłup a 2 a 0,766 0,76 Graniastosłup a a 3 Walec r h 2 0,873 Walec h 10 r 0,691 Opadanie pojedynczych cząstek w aparatach przemysłowych jest wyjątkowo rzadkie. Najczęściej występuje tak zwane opadanie gromadne, tj. takie w którym sąsiadujące cząstki mają wpływ na ruch innych. Wówczas ciecz i obecne w niej cząstki należy traktować jako zawiesinę. Obecność wielu cząstek powoduje zmniejszenie przekroju, w którym jest faza ciągła i w związku z tym występuje wówczas wsteczny ruch cieczy. Wielkością, która opisuje wpływ innych cząstek na opadanie w roju jest porowatość zawiesiny , czyli udział objętości swobodnej w całej zawiesinie. Dla celów praktycznego wykorzystania w projektowaniu prędkość opadania kulistych cząstek w zawiesinie w oblicza się mnożąc prędkość opadania pojedynczej cząstki przez współczynnik f uwzględniający zmniejszenie prędkości wskutek zapełnienia objętości przez rój cząsetk: 2 f 1 82 10 1 47 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |